- Tên Ebook: Max_ Min của biểu thức 2 biến số
- Loại file: PDF
- Dung lượng: 305 KB
- Số trang:
LINH TẢI:
TRÍCH DẪN:
www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ I- SỬ DỤNG TẬP GIÁ TRỊ: • Bài toán: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện F x y ( ; 0 ) = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức P G x y = ( ; ). • Phương pháp giải chung: Gọi T là tập giá trị của P, khi đó m T ∈ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) = = (1) ; 0 F x y ( ) ; G x y m • Sau đó tìm các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm (thường là đưa về điều kiện có nghiệm của một phương trình bậc hai) rồi suy ra tập giá trị T của P, từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức P G x y = ( ; ). • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2006) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 2 2 x xy y + + ≤ 3. Chứng minh rằng: 2 2 − − ≤ − − ≤ − 4 3 3 3 4 3 3 x xy y Giải: Đặt 2 2 A x xy y = + + và 2 2 B x xy y = − − 3 . Gọi T là tập giá trị của B, khi đó m T ∈ khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 2 2 + + ≤ − − = (1) x xy y 2 2 3 x xy y m 3 • Nếu y = 0 thì 2 A x = ≤ 3, lúc đó 2 − − < ≤ = ≤ < − 4 3 3 0 3 4 3 3 m x (đpcm). 2 2 y y A x xy y x • Nếu y ≠ 0 thì đặt x ty = , khi đó 2 2 2 m x xy y t t − − − − 3 3 = = + + + +. 2 2 2 2 2 30 = + + = + + > nên: 2 4 A x xy y t t 1 22 t t − − 31 1 3 0 (2) Đặt ( ) ( ) a a t a t a = ⇔ − + + + + = + +. 2 t t 1 Hệ (1) có nghiệm ⇔ Phương trình (2) có nghiệm ( ) ( )( ) 2 ⇔ ∆ = + − − + ≥ a a a 1 4 1 3 0 4 3 3 4 3 3 − − − ⇔ ≤ ≤ . a 3 3 Do đó: 4 3 3 4 3 3 − − − ≤ ≤ , mặt khác 0 3 < ≤ A nên − − ≤ ≤ − 4 3 3 4 3 3 m . m 3 3 A 1 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ Vậy tập giá trị của P là T = − − − 4 3 3 ; 4 3 3 nên suy ra đpcm. Ví dụ 2: (Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2005) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x x y y − + = + − 3 1 3 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức K x y = + . Giải: ĐKXĐ: x ≥ −1 và y ≥ −2 . Gọi T là tập giá trị của K. Ta có m T ∈ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: − + = + − + = 3 1 3 2 (1) x x y y x y m Đặt u x = +1 và v y = + 2 thì u v ≥ ≥ 0, 0 và hệ (1) trở thành: m + = + = ⇔ ⇔ + = + = − − u, v là hai nghiệm của phương trình: ( ) u v m u v 3 3 2 u v m m 2 2 1 3 3 uv m 2 9 2 2 1 2 2 3 0 18 6 9 27 0 m m t t m t mt m m − + − − = ⇔ − + − − = 3 2 9 (2). Do đó hệ (1) có nghiệm (x , y) sao cho x ≥ −1 và y ≥ −2 khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm không âm và điều kiện là: ∆ = − − − ≥ ( ) 2 9 18 54 0 m m + 9 3 21 0 9 3 15 m S m = ≥ ⇔ ≤ ≤ + . 3 2 − − = ≥ 2 9 27 0 m m P 18 T + Do đó 9 3 21 ;9 3 15 = + . 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của K là 9 3 21 + và giá trị lớn nhất của K là 9 3 15 + . 2 2 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ II- SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC: • Phương pháp chung: Mấu chốt của phương pháp bất đẳng thức là phải dự đoán được biểu thức sẽ đạt giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất tại những giá trị nào của biến số để từ đó có những cách phân tích, đánh giá thích hợp. • Một số bất đẳng thức cần nhớ: +≥ (với x y ≥ ≥ 0; 0 x yxy 2 BĐT Cô-si: ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y = . ( ) ( )( )2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 a b a b a a b b + ≤ + + BĐT Bunhiacopxki: a a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 = . b b 1 2 BĐT về trị tuyệt đối: x y x y x y − ≤ − ≤ + n n n x y x y + + ≥ (với n nguyên dương và x y ≥ ≥ 0; 0 2 2 BĐT ) • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2005) Cho hai số thực x, y dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 1 1 1 y ( ) 9 P xx y = + + + . Giải: 3 x x x x x + = + + + ≥ . 1 1 4.4 • 3 3 3 3 3 y y y y y + = + + + ≥ . • 1 1 4.4 x x x x x 3 3 3 3 3 2 6 9 3 3 3 3 9 3 1 1 4. 1 16. • + = + + + ≥ ⇒ + ≥ . 4 4 y y y y y y y 3 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ 2 6 3 3 = + + + ≥ = . y x y P xx x y y 9 3 1 1 1 4.4.16. . . 256 Suy ra ( ) 4 3 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 256 khi x = 3 và y = 9 . Ví dụ 2: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2006) Cho hai số thực x, y dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x y + ≥ 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất 2 3 x y Ax y 3 4 2 + + của biểu thức = + . 2 4 Giải: + 3 1 2 1 1 1 4 1 9 2 2 . 2.3 . . x x x y y y x y y A y = + + + = + + + + + ≥ + + = 3 2 2 2 4 4 2 8 8 4 2 8 8 2 x x x y y y = x 4 1 x Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi + = ⇔ = = x y x y 4 2 . Vậy min92 A = khi x = y = 2. = 1 y y 2 8 Ví dụ 3: (Đề thi đại học chính thức khối A năm 2006) Cho hai số thực x ≠ 0 và y ≠ 0 thay đổi thỏa mãn điều kiện ( )2 2 x y xy x y xy + = + − . 1 1 Ax y = + . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 Giải: Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức) 1 1 1 1 1 Ta có: ( ) 2 22 2 x y xy x y xyx y xy x y + = + − ⇔ + = + − . Đặt 1 1 a b, = = , ta được 2 2 a b a b ab + = + − (1) . x y ( )( ) ( ) 3 3 2 2 2 A a b a b a b ab a b = + = + + − = + ( )2 (1) 3 ⇔ + = + − a b a b ab . 4 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ ≤ nên ( ) ( ) ( ) 2 2 vì a b ab + 2 2 a b a b ab a b + + a b a b 2 2 3 32 4 + = + − ≥ + − = . ( ) ( ) 2 ⇒ a b a b a b + − + ≤ 4 0 0 4 ⇒ ≤ + ≤ . Do đó ( )2 A a b = + ≤ 16 . Vậy giá trị lớn nhất của A là 16 khi 12 x y = = . Cách 2: (Sử dụng tập giá trị) Ta có ( )( ) ( ) 2 2 4 2 + − + + + + x y x xy y x y x xy y Ax y x y x xy y x xy y 2 2 1 1 2 − + − +. = + = = = ( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 2 Xét biểu thức 2 2 x xy y 2 + + Bx xy y =− +. Đặt x ty = thì 2 t t Bt t + + 2 1 =− +. 2 2 2 1 • Nếu t = 0 thì x = 0 (trái giả thiết x ≠ 0) nên t ≠ 0 . • Do ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y xy x y xy x y xy x y xy + = + − ⇔ + = + − 3 nên x y xy + = 0 3 0 ⇒ − = (trái giả thiết xy ≠ 0 ). Vậy x y + ≠ 0 nên t ≠ −1. Gọi T là tập giá trị của B thì: 2 + + m T ∈ ⇔ Phương trình t t 2 1 =− + có nghiệm t ≠ 0 , t ≠ −1. mt t 2 1 2 m t m t m − − + + − = 1 2 1 0 (*) có nghiệm t ≠ 0 , t ≠ −1. ⇔ Phương trình ( ) ( ) • Nếu m = 1 thì phương trình (*) có nghiệm t = 0 (loại). ∆ ≥ ⇔ − ≠ ≠ . 0 • Nếu m ≠ 1 thì phương trình (*) có nghiệm t ≠ 0 , t ≠ −1 m m 1 0 3 0 ( ) ( ) 2 2 2 4 1 00 4 + − − ≥ < ≤ m mm ⇔ ≠ ⇔ ≠ ≠ mm 11 . m 0 Vì 2 A B = và tập giá trị của B là T = (0;4 \ 1 ] { } nên tập giá trị của A là T1 = (0;16 \ 1 ] { } . Vậy giá trị lớn nhất của A là 16. 5 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ III- SỬ DỤNG HÌNH HỌC: • Phương pháp chung: Phương pháp hình học thường được sử dụng khi giả thiết bài toán và biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất có dạng là phương trình của một đường thẳng, đường tròn, đường elip hoặc là khoảng cách giữa hai điểm v.v... • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2004) Gọi (x, y) là nghiệm của hệ phương trình 2 4 − = − + = + (m là tham số). x my m mx y m 3 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 Q x y x = + − 2 khi m thay đổi. Giải: • Đường thẳng ( ) 1d x my m : 2 4 0 − − + = đi qua điểm cố định A(2 ; 4). • Đường thẳng ( ) 2 d mx y m : 3 1 0 + − − = đi qua điểm cố định B(3 ; 1). d và ( ) 2 • Đường thẳng ( ) 1 d vuông góc với nhau. Do đó, gọi M(x , y) với (x, y) là nghiệm của hệ phương trình thì M chạy trên đường tròn 2 2 5 5 5 ( ) :2 2 2 C x y đường kính AB có phương trình 1 − + − = . Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 Q x y x x y x y Q = + − = − + − ⇔ − + = + 2 1 1 1 1. Gọi đường tròn ( ) ( )2 2 2 C x y Q : 1 1 − + = + . Lúc đó ( )2 2 x y − + 1 chính là khoảng cách từ điểm N(1 ; 0) đến điểm M (hình vẽ). yDo đó NM lớn nhất khi và chỉ khi hai đường tròn 1 A M P B N ( ) C và ( ) C2 tiếp xúc trong (hình vẽ). ⇔ + = NP PM NM + 2 34 10 34 10 1 1. ⇔ + = + ⇔ = − Q Q 2 2 2 x 2 Q + Vậy max 34 10 1 10 85 . = − = + 2 6 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ Ví dụ 2: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn 2 2 36 16 9 x y + = . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P x y = − + + 2 5. Giải: Gọi T là tập giá trị của P và m T ∈ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: + = − + + = (1) 2 2 36 16 9 x y 2 5 x y m Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 36 16 9 6 4 3 x y x y + = ⇔ + = . Đặt X x Y y = = 6 , 4 thì hệ phương trình (1) trở thành: + = − + − = (2) 2 2 9 X Y 4 3 12 60 0 X Y m Hệ (1) có nghiệm ⇔ Hệ (2) có nghiệm ⇔ Đường tròn ( )2 2 C X Y : 9 + = và đường thẳng mm −≤ ⇔ ≤ ≤ 12 60 15 25 34 4 4 3 (d X Y m ) : 4 3 12 60 − + − có điểm chung ⇔2 2 . + Vậy 15 25 = nên giá trị nhỏ nhất của P là 154 và giá trị lớn nhất của P là 254. T ; 4 4 7 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ IV- SỬ DỤNG VECTƠ: • Phương pháp chung: Phương pháp vectơ thường sử dụng khi biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất xuất hiện các biểu thức có dạng 2 2 A B + . • Một số bất đẳng thức cần nhớ: 1 2 1 2 ... ... a a a a a a + + + ≤ + + + n n cùng hướng.) (Đẳng thức xảy ra khi 1 2 ; ;...; n a a a 1 2 1 2 a a a a . . ≤ cùng hướng.) (Đẳng thức xảy ra khi 1 2 a a ; • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học chính thức khối B năm 2006) Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 A x y x y y = − + + + + + − 1 1 2 ( ) ( ) và b x y = + ( 1; ) Giải: Xét các vectơ a x y = − (1 ; ) . Ta có: . • ( ) ( ) 2 2 2 2 2 a b a b y x y x y + ≤ + ⇔ + ≤ − + + + + 4 4 1 1 Do đó 2 A y y f y ≥ + + − = 2 1 2 ( ). • Với y ≥ 2 thì 2 A 2 1+2 2 5 ≥ = . (1) • Với y < 2 thì 2 f y y y ( ) 2 1 2 = + + − . ≥ 2 0 1 y y • ( ) 22 2 2 f y y y y = − = ⇔ = + ⇔ ⇔ = ' 1 0 2 1 + = +. 1 4 1 3 y y y Bảng biến thiên: 1 y f'(y) f(y) -∞ 3 - 0 + 2+ 3 2 8 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ Dựa vào bảng biến thiên, ta có f y( ) 2 3 ≥ + hay A ≥ +2 3 . (2) Từ (1) và (2), ta có giá trị nhỏ nhất của A là 2 3 + khi 1 x y = = . 0;3 Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học năm 2011 - báo Toán học và tuổi trẻ số 404/tháng 02/2011) Cho x, y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn 1 1 2 + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất x y của biểu thức: 6 4 6 4 P x y y x = + + + 3 3 . và ( ) Giải: Xét các vectơ ( ) 3 2 a x y = ; 3 . 3 2 b y x = ; 3 . Ta có: ( ) ( ) 2 2 6 4 6 4 3 3 2 2 a b a b x y y x x y x y + ≥ + ⇔ + + + ≥ + + + 3 3 3 3 hay ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 P x y x y ≥ + + + 3 . + + ≥ ⇒ + ≥ ≥ = +. Mặt khác ( ) 1 1 4 4 4 2 1 1 2 x y x y x y x y + + ≥ ⇒ + ≥ = và ( )2 2 và 3 3 3 3 x y x yx y 3 3 2 2. 2 2 2 2 x y+ x y 2 2 22 + ≥ ≥ = . 2 2 Suy ra 2 2 P ≥ + = 2 3.2 4 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x y = = 1. 9 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ V- SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC: • Phương pháp chung: đặt các biến theo các hàm số lượng giác để đưa biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất về biểu thức chứa các hàm số lượng giác. • Một số kiến thức cần nhớ: nếu2 2 x y + = 1 thì đặt x t = sin và y t = cos . x t = sin và 2 nếu x y + = 1 thì đặt 2 • Một số ví dụ minh họa: y t = cos . Ví dụ 1: (Đề thi đại học chính thức khối B năm 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức 2 2 x y + = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 2 2 6 x xy + Pxy y =+ +. Giải: Vì 2 2 2 1 2 2 Cách 1: (Sử dụng lượng giác) x y + = 1 nên đặt x t = sin và y t = cos . Lúc đó: ( )( ) ( ) 2 2 sin 6sin cos6 sin2 1 cos2 1 2 t t t + P P t P t P = ⇔ − + + = − + + (1) 2 1 2sin cos 2cos t t t (1) có nghiệm ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ⇔ − + + ≥ − ⇔ − ≤ ≤ P P P P 6 1 1 2 6 3 Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 và giá trị nhỏ nhất của P là -6. Cách 2: (Sử dụng tập giá trị) Gọi T là tập giá trị của P, khi đó m T ∈ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 2 2 + = + x y 1 ( ) 2 2 6 x xym = (1) 2 + + 1 2 2 xy y • Nếu y = 0 thì 2 x = 1 nên m = 2. 22 t t + 2 12 2 2 6 3 0 (2) • Nếu y ≠ 0 thì đặt x ty = , khi đó ( ) ( ) m m t m t m = ⇔ − + − + = 2 t t + + 2 3 Hệ phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm. 10 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ * Với m = 2 thì phương trình (2) có nghiệm 34 t = . * Với m ≠ 2 thì phương trình (2) có nghiệm ⇔ 2 ∆ = − − + ≥ ' 2 6 36 0 m m ⇔ − ≤ ≤ 6 3 m Vậy tập giá trị của P là đoạn [−6 ; 3] nên max P = 3 và min P = −6 . Ví dụ 2: (Đề thi đại học chính thức khối D năm 2008) Cho hai số thực x, y không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )( ) x y xy 1 − − =+ +. Px y ( ) ( ) 2 2 1 1 Giải: Cách 1: (Sử dụng lượng giác) π Đặt x = tanu, y = tanv với u, v 0;2 . ∈ u v u v Pu v (tan tan )(1 tan tan ) sin( )cos( ) u v u v + + = 1 sin 2 sin2 − − − + u v − =+ + = 2 2 2 2 (1 tan ) (1 tan ) (sin cos ) (sin cos ) u u v v 2 (1 sin2 )(1 sin2 ) u v + + = 1 1 1 − + + . 2 1 sin 2 1 sin 2 v u − = + + 4π • Pmax = 1 1 1 1 khi 2 1 0 1 1 4 u = và v = 0 ⇔ x = 1 và y = 0. − = − + +u = 0 và 4π • Pmin = 1 1 1 1 khi 2 1 1 1 0 4 Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức) v = ⇔ x = 0 và y = 1. Ta có x y x y x y − ≤ + = + và 1 1 1 − ≤ + = + xy xy xy nên: x y xy P P ( )(1 ) 1 1 1 + + ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ . [ ]2 ( ) (1 ) 4 4 4 x y xy + + + • Giá trị lớn nhất của P bằng 14 khi x = 1, y = 0. • Giá trị nhỏ nhất của P bằng 14 − khi x = 0, y = 1. 11 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ VI- SỬ DỤNG ĐẠO HÀM: • Phương pháp chung: từ giả thiết của bài toán, ta biến đổi biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất từ hai biến số x; y về một biến số nào đó (có thể là t = x + y hoặc t = xy hoặc 2 2 t x y = + …) rồi dùng đạo hàm để khảo sát hàm số này. • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học chính thức khối B năm 2009) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn ( )3 x y xy + + ≥ 4 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 4 4 2 2 2 2 A x y x y x y = + + − + + 3 2 1. Giải: Ta có ( )2 x y xy + ≥ 4 nên từ giả thiết suy ra ( ) ( ) 3 2 x y x y x y + + + ≥ 2 1 ⇒ + ≥ . 3 3 3 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 A x y x y x y x y x y x y = + + − + + = + + + − + + 2 2 3 3 2 1. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y ≥ + + + − + + 2 4 2 9 2 2 2 2 2 1 Suy ra ( ) ( ) A x y x y ≥ + − + + . 4 Đặt 2 2 t x y = + , ta có ( )2 x y x y+ 2 2 1 + ≥ ≥ . Do đó 9 22 1 A t t ≥ − + với 12 t ≥ . Xét hàm số ( ) 9 22 1 2 2 4 f t t t = − + với 12 t ≥ . 4 Ta có ( ) 9 1 9 min2 16 f t t = − > với mọi 12 t ≥ , suy ra ( ) f t f ' 2 0 2 1;2 +∞ = = . Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 916 khi 12 x y = = . Ví dụ 2: (Đề thi đại học chính thức khối D năm 2009) Cho hai số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x y + = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )( ) 2 2 S x y y x xy = + + + 4 3 4 3 25 . 12 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ Giải: Cách 1: (Sử dụng đạo hàm) • Vì , 01 + = nên suy ra 1 ≥ x y x y = − ≤ ≤ do đó 4 3 2 S x x x x = − + − + 16 32 18 2 12 . y x 0 1 x • Xét hàm số ( )4 3 2 f x x x x x = − + − + 16 32 18 2 12 trên đoạn [0 ; 1]. • ( ) 3 2 = x 1 2 = − + − = ⇔ ± f x x x x ' 16.4 32.3 18.2 2 02 3 = (đều thuộc đoạn [0 ; 1]). x 4 x 0 2 3 − 4 1 2 2 3 + 4 1 f x( ) 12 191 16 25 2 191 16 12 Dựa vào bảng giá trị, ta kết luận: • min191 x y + − x y − + S = khi ( ) 2 3 2 3 ; ; hoặc( ) 2 3 2 3 ; ; 16 • max2512 = 4 4 = 4 4 . S = khi ( ) 1 1 x y ; ;2 2 = . Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức kết hợp với đạo hàm) Do x y + = 1 nên ( ) 2 2 3 3 S x y x y xy xy = + + + + 16 12 9 25 ( ) ( ) 2 2 3 2 2 16 12 3 34 16 2 12 x y x y xy x y xy x y xy = + + − + + = − + . Ta có ( )21 xy+ x y f t t t = − + 16 2 12 trên đoạn 1 ≤ ≤ = . Xét hàm số ( )2 04 4 f t t t = − = ⇔ = và ( ) 1 191 1 25 ; ; 0 12 0;4 . ( ) 1 ' 32 2 016 1 25 f f f = = = . 16 16 4 2 1 191 min16 16 Vậy ( ) = = và ( ) max4 2 f t f 1 0;4 1 0;4 f t f = = . 13 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ + = + − ⇔ = • min191 x y 12 3 2 3 x y − + = hoặc ( ) 2 3 2 3 S = khi ( ) 1 ; ; = 16 x y xy 16 4 4 ; ; . 4 4 + = ⇔ = = . • max2512 x y 11 1 S = khi ( ) 1 ; ;2 2 xy 4 x y Cách 3: (Sử dụng lượng giác) = + = ≥ nên đặt 22 • Vì 1 x y x t sin t π x y , 0 = với 0;2 ∈ . y t cos • Lúc đó 4 4 2 2 4 2 1 S t t t t t t = − + = − + 16sin cos 2sin cos 12 sin 2 sin 2 12 2 2 2 1 191 191 sin 24 16 16 = − + ≥ . t • Dấu “=” xảy ra 2 1 1 sin 2 sin2 t π t t = ⇔ = (vì 0;2 4 2 ∈ nên sin 2 0 t > ) ⇔ = hoặc 512 t π tπ 12 π − − 1 cos 4 3 6 sin2 2 2 = = = x t tπ = (vì 0;2 ∈ ) π 5 − + 1 cos 4 3 6 sin 5 2 2 2 = = = π π x t • t = ⇒ π + t ; 12 1 cos 4 3 6 cos2 2 + 2 = = = y t = ⇒ π + 12 5 1 cos 4 3 6 cos2 2 − 2 = = = y t + = + − ⇔ = • min191 x y 12 3 2 3 x y − + = hoặc ( ) 2 3 2 3 S = khi ( ) x y 16 xy 1 ; ; 4 4 16 ; ; = . 4 4 •4 2 2 2 1 1 1 25 sin 2 sin 2 12 sin 2 sin 2 12 1. 1 12 S t t t t = − + = − + ≤ − + = . 2 2 2 12 • Dấu “=” xảy ra 2 t π sin 2 1 sin2 1 t t = ⇔ = (vì 0;2 ∈ nên sin 2 0 t > ) tπ t π ⇔ = (vì 0;2 4 ∈ ) 14 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ π 2 1 + = ⇔ = = . π x = = sin4 2 x y 11 1 = ⇒ ⇒ π = = max2512 S = khi ( ) • 1 ; ;2 2 t 4 1 xy x y y 2 cos4 2 4 Ví dụ 3: (Đề thi cao đẳng năm 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 2 2 x y + = 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 3 3 M x y xy = + − 2 3 . Giải: Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức và đạo hàm) Ta có ( ) ( )2 x y x y xy xy+ − 2 2 2 2 x y + = ⇔ + − = ⇔ = , do đó: 2 2 22 ( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 2 2 M x y xy x y x xy y xy x y xy xy = + − = + − + − = + − − 2 3 2 3 2 2 3 3 3 2 ( ) ( ) ( ) 6 3 = − + − + + + + x y x y x y 2 Mặt khác ( )2 x y + 2 2 2 2 2 = + ≥ ⇒ − ≤ + ≤ . x y x y 2 Xét hàm số ( ) 3 2 36 3 f t t t t = − − + + trên đoạn [−2;2]. 2 f t t tt = Ta có ( ) 21 t = − − + = ⇔ = − và ( ) ( ) ( ) 13 1 ; 2 1; 2 7 ' 3 3 6 02 f f f = = − = − . 2 • Giá trị lớn nhất của M là 132 khi 1 3 x+ = ; 1 3 y− = hoặc 1 3 x− = ; 1 3 y+ 2 2 2 • Giá trị nhỏ nhất của M là -7 khi x y = = −1. Cách 2: (Sử dụng lượng giác kết hợp đạo hàm) • Vì 2 2 = . 2 x y + = 2 nên đặt x t y t = = 2 sin ; 2 cos với t ∈ π [0 ; 2 ). • ( ) ( )( ) 3 3 M x y xy = + − = − − 2 3 4 2 1 6 sin cos sin cos sin cos t t t t t t + . với điều kiện u∈ − 2; 2 thì 21 π t t− u u t t = + = t = • Đặt sin cos 2 sin4 + nên 3 2 M u u u = − − + + 2 2 3 6 2 3 . sin cos2 15 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ • Xét hàm số ( )3 2 f u u u u = − − + + 2 2 3 6 2 3 trên đoạn − 2; 2 . = − u 2 • ( ) 2 = − − + = ⇔ = f u u uu ' 6 2 6 6 2 0 1 . 2 • ( ) ( ) 1 13 2 7; ; 2 1 f f f − = − = = nên ta có kết luận sau: 2 2 π − + = − = = 1 3 1 3 ; * Giá trị lớn nhất của M là 132 khi u t x y 1 12 2 2 = ⇔ ⇔ π + − = = = 2 7 1 3 1 3 t x y ; 12 2 2 π * Giá trị nhỏ nhất của M là -7 khi 3 = − ⇔ = − ⇔ = = − . u t x y 2 1 4 Ví dụ 4: (Đề thi thử đại học năm 2011 - trường THPT chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng ) Cho hai số thực x, y dương thay đổi thỏa mãn x y + = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu x y Tx y = + thức 1 1 − −. Giải: Cách 1: (Sử dụng đạo hàm) • Vì x y + = 1 nên suy ra y x = −1 , do đó 1 x y x x Tx y x x− = + = + − − −. 1 1 1 • Xét hàm số ( ) 1 x x f xx x− = + − với 0 1 < < x . 1 2 1 1 1 1 1 ' − + = − = − + − − − − x x f x • ( ) . 2 1 2 1 2 2 1 2 2 x x x x x x ( ) ( ) 3 3 3 3 • Ta có 1 f = . Ta chứng minh 12 ' 0 2 •1 1 0 1 x = là nghiệm duy nhất của f x '( ) . x x > ⇒ < − < ⇒1 1 0 − > 1 1 0 − > nên f x ' 0 ( ) > . 2 2 − và ( )3 3 2 1 2 x x 2 1 x 2 x − 16 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ •1 1 0 1 < < x x ⇒ − > ⇒1 1 0 − < 1 1 0 − < nên f x ' 0 ( ) < . 2 2 − và ( )3 3 • Vậy 12 2 1 2 x x 2 1 x 2 x − x = là nghiệm duy nhất của f x '( ) (đpcm). BBT: 1 x 0 2 1 f'(x) f(x) - 0 + 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 khi 12 x y = = . Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức kết hợp đạo hàm) • Đặt 1 0 − = > x u và 1 0 − = > y v . Lúc đó x y + = 1 trở thành 2 2 u v + = 1 và 2 2 1 1 1 1 u v T u v − − ( ) = + = + − . u v uv • ( ) ( )2 u v u v uv uv+ − u v 2 2 2 1 + = ⇔ + − = ⇔ = . 1 2 12 •( )2 u v + 2 2 1 2 = + ≥ ⇒ + ≤ . u v u v 2 • ( )2 2 2 u v u v uv uv u v + = + + = + > 2 1 2 1 1 ⇒ + > . 3 t t T f t − + 3 Đặt t u v = + thì ( ) − với t ∈(1; 2 . = = 4 t 2 1 ( )( ) ( ( ) ( ) 3 − − = < ∀ ∈ ⇒ ≥ = t . f t t f t f ' 0, 1; 2 2 2 t 2 − 1 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 khi 12 x y = = . 17 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ Cách 3: (Sử dụng lượng giác kết hợp đạo hàm) Vì 1 + = > > nên tồn tại 0;2 = 2 x y x y 0; 0 t π ∈ sao cho x t sin =. 2 y t cos Khi đó ( )( ) 2 2 3 3 cos sin cos sin sin cos 1 sin cos t t t t t t t t + + − Tt t t t t t = + = = . sin cos sin cos sin cos a t t t π Đặt sin cos 2 sin4 t π = + = + , vì 0;2 ∈ nên 1 2 < ≤ a . 21 t t− a 3 − + a a T f a 3 = , do đó ( ) sin cos2 = = Ta có 4 a 2 −. 1 ( )( ) ( ( ) ( ) − − = < ∀ ∈ ⇒ ≥ = a 3 . f a a f a f ' 0, 1; 2 2 2 a 2 − 1 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 khi 12 x y = = . Ví dụ 5: (Đề thi thử đại học năm 2011 - trường THPT chuyên Quốc Học - Huế) Cho a, b là các số thực thay đổi (a > 0) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( ) 2 2 T a b a b = − + − ln Giải: Cách 1: (Sử dụng đạo hàm) Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 2 2 f b b a b a = − + − ln với b∈ . Ta có ( ) ( ) ( ) ln ' 2 2 ln 02+ = − + − = ⇔ =a a f b b a b a b . BBT: x f'(x) f(x) a + lna -∞ 2 +∞ - 0 + f(a + lna 2) Dựa vào bảng biến thiên, ta có: ( ) ( )2 f b f + − a a a a ln ln ≥ = 2 2 Xét hàm số f a a a ( ) = − ln với a > 0 . ( ) 1 f a a ' 1 0 1 = − = ⇔ = . a 18 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ BBT: a f'(a) f(a) 0 1 +∞ - 0 + 1 Do đó f a a ( ) ≥ ∀ > 1, 0 , nên ( )2 2 a a −≥ = . Vậy min12 ln 1 1 2 2 2 Cách 2: (Sử dụng hình học) T = khi 1 a b = = . 1;2 Xét điểm M b b ( ; ) thuộc đường thẳng (d): y = x và điểm N a a ( ;ln ) thuộc đồ thị (C) của hàm số y x = ln . Lúc đó ( ) ( ) 2 2 2 MN a b a b = − + − ln . y Dựa vào đồ thị, ta thấy MN nhỏ nhất khi N là tiếp điểm f(x) = x h(x) = x-1 M g(x) = ln(x) N của tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (d) (hình vẽ). Do đó ( ) 1 ' 1 1 N N f x x = = ⇔ = , suy ra 0 N x N x y = . Và M là hình chiếu vuông góc của N lên đường thẳng (d) nên 1 1;2 2 1 M . Lúc này 2min MN T = = . 2 Cách 3: (Sử dụng vectơ kết hợp đạo hàm) và v = (1;1) Xét các vectơ u a b b a = − − ( ; ln ) . . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 u v u v a b b a a b b a . . .1 ln .1 ln . 1 1 ≤ ⇔ − + − ≤ − + − + Suy ra ( ) ( ) ( )2 T a b a b− a a 2 2 ln = − + − ≥ . ln2 Xét hàm số f x x x ( ) = − ln , ( ) 1 f x x ' 1 0 1 = − = ⇔ = . x BBT: x f'(x) f(x) 0 1 +∞ - 0 + 1 19 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ 21 1 Do đó f x x ( ) ≥ ∀ > 1, 0, nên T ≥ = . Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 12 khi 1 a b = = . Ví dụ 6: 2 2 1;2 Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn 3 3 x y + ≤ 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 A x y = + . Giải: •3 3 3 3 3 3 x y y x y x + ≤ ⇔ ≤ − ⇔ ≤ − 2 2 2 . • Vì x, y dương nên 3 3 3 x y x + ≤ 2 0 2 ⇒ < < . Do đó ( )2 2 2 2 3 3 A x y x x = + ≤ + −2 . Xét hàm số ( ) ( )2 2 3 3 f x x x = + − 2 với 3 0 2 < < x . ( ) ( ) 3 3 2 2 0 2 x x x x x − − = 2 − − − = (vì 3 f x x x ' 2 0 1 0 2 < < x ). BBT: = − = = ⇔ ⇔ = 3 3 3 3 3 3 2 2 2 x x x x x 0 1 f'(x) f(x) + 0 - 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra A f x ≤ ≤ ( ) 2 . Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi x = y = 1. Ví dụ 7: Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn x y + = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 A x yx y biểu thức 2 22 2 = + + + . Giải: 20 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ Cách 1: (Sử dụng đạo hàm) 1 1 11 2 2 Ta có x y y x + = 1 1 ⇒ = − . Xét hàm số ( ) ( )( ) = + + − +− với 0 < x < 1. f x x x 2 2 x x 3 3 ( ) ( )( )( ) ( ) 2 2 1 x x f x x x x − − ' 2 2 1 0 2 1 0 = − − − + = ⇔ − + = 3 3 3 3 ( ) x x x x 1 1 − − ( ) ( )( ) − − + − + 22 2 1 1 1 1 2 1 0 2 1 1 0 x x x x x ( )( )( ) ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = x x x 3 3 3 3 1 1 2 x x x x − − BBT: 1 x 0 2 1 - 0 +Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất f'(x) của A là 172 khi 12 x y = = . f(x) 17 2 Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức kết hợp đạo hàm) 1 1 1 1 2 A x y x y xy xy 1 2 1 2 Ta có ( ) 2 2 2 2 = + + + = + + ≥ + = + . 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy •1 = + ≥ x y xy xy ⇒ < ≤ . 1 2 04 • Xét hàm số ( ) 2 = + với 1 f t t 2t Ta có ( ) 22 1 ' 2 0, 04 < ≤t . 04 = − < ∀ < ≤ , suy ra ( ) 1 17 f t t t f t f ≥ = . 4 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 172 khi 12 x y = = . Cách 3: (Sử dụng lượng giác) π x t = sin ; 2 Từ giả thiết của bài toán, ta đặt 2 y t = cos với 02 < < . t 1 1 1 1 sin cossin cos Ta có 2 2 4 4 A x y t t = + + + = + + + 2 2 4 4 x y t t 21 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ 1 16 1 16 17 1 sin 2 1 1 1 = − + ≥ − + = . 24 tt 2 2 1 2 sin 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 172. π Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sin 2 14 π < < )12 = ⇒ = (vì 02 ⇒ x y = = . t t t Ví dụ 8: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2002) Cho hai số thực x, y dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 54 x y + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 14 = + . Sx y Giải: Cách 1: (Sử dụng đạo hàm) Ta có 5 5 4 1 + = ⇒ = − ⇒ = +−. x y y x Sx x 4 4 5 4 Xét hàm số ( ) 4 1 = +− với 5 f xx x 5 4 < < x . 04 1 = x 4 4 ' 0 5 4 5 Ta có ( )( )( )2 2 = − + = ⇔ = − ⇔ f x x x 2 2 − = x x x 5 4 (lo¹i) 3 BBT: x 0 1 5 Dựa vào BBT, ta có ( ) 5 f x x ≥ ∀ ∈ nên 4 f'(x) - 0 + min S = 5 khi x = 1 và 14 5, 0;4 f(x) 5 y = . Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức) 4 1 1 1 1 1 1 25 25 5 + = + + + + ≥ = = + +. Ta có ( ) x y x x x x y x y x y 4 4 4 4 4 = 44 Đẳng thức xảy ra khi x yx = + = = . ⇔ 51 x y y 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 5 khi x = 4 và y = 1. 22 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ Ví dụ 9: Cho hai số thực x, y không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện x y + = 1. Tìm giá trị nhỏ x y Ay x nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 + +. = + Giải: Cách 1: (Sử dụng đạo hàm) x x x y y x Ax x− 1 − +. + = ⇒ = − ⇒ = + 1 12 1 Xét hàm số ( ) 1 x x f xx x− − + với 0 1 ≤ ≤ x . = + 2 1 2 2 1 ' 0 1 2 Ta có ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 f x x x x = − = ⇔ + = − ⇔ = 2 2 2 1 2 − + x x f f (0 1 1 ) = = ( ) ; 1 2 f = . 2 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 23 khi 12 x y = = và giá trị lớn nhất của A là 1 khi x y = = 0; 1 hoặc x y = = 1; 0. Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức kết hợp đạo hàm) Ta có ( )2 2 2 2 1 2 2 x y x x y y xy x y xy + + + − + − + + + + + + + +. Ay x x y xy xy xy = + = = = 1 1 1 2 2 Mặt khác 1 = + ≥ x y xy xy ⇒ ≤ ≤ . 1 2 04 Xét hàm số ( ) 2 2 =+ với 1 − t ≤ ≤t . f tt 2 04 + với mọi 1 ∈ nên hàm số f(t) nghịch biến trên đoạn 1 6 Ta có ( )( )2 f tt ' 0 = − < 2 t 0;4 . 0;4 23 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ 1 2 min4 3 Do đó ( ) = = và ( ) ( ) 1 0;4 f t f = = . max 0 1 f t f 1 0;4 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 23 khi 12 x y = = và giá trị lớn nhất của A là 1 khi x y = = 0; 1 hoặc x y = = 1; 0. Cách 3: (Sử dụng lượng giác) Vì 1 + = ≤ ≤ nên đặt 2 x y x t = sin và 2 t π 0 ;0 x y y t = cos với 0;2 ∈ . 2 2 2 Lúc đó t t t At t t t sin cos 8 2sin 2 24 2 − + + + +. = + = = − + 2 2 2 2 1 cos 1 sin 8 sin 2 8 sin 2 24 2 28 1 3 t tπ t π + khi sin 2 14 Suy ra 2 A ≥ − + = = ⇔ = vì 0;2 ∈ ; 24 2 1 = t 0 t π và 2 + khi A ≤ − + = = ⇔ π sin 2 0 tt ∈ . vì 0;2 8 0 = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 23 khi 12 x y = = và giá trị lớn nhất của A là 1 khi x y = = 0; 1 hoặc x y = = 1; 0. -----------HẾT----------- 24 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com www.VNMATH.com Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________ MỤC LỤC Trang • Sử dụng tập giá trị ……………..............................................................02 • Sử dụng bất đẳng thức …………….......................................................04 • Sử dụng hình học ……………................................................................07 • Sử dụng vectơ ……………......................................................................09 • Sử dụng lượng giác …………….............................................................11 • Sử dụng đạo hàm.. ……………..............................................................13 25 _______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com