- Tên Ebook: Khảo sát hàm số chọn lọc
- Loại file: PDF
- Dung lượng: 1 MB
- Số trang:
LINH TẢI:
TRÍCH DẪN:
w w . w www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 f a Hãy c e Đừng phấn b Đời o đấu o phải Chị k vươn . trải c bao lên qua o tin m không giông / giờ g EM chỉ tố r nhưng o bằng u bỏ p sẽ khối không s / óc cuộc làm T được mà a bằng i cúi L đầu được! i cả EM e con trước u tim O giông n nhé! của __Ngọc T h tố! mình i D nữa! a Huyền__ i H o c 0 1 facebook.com/huyenvu2405 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài tập ứng dụng khảo sát hàm số chọn lọc Sưu tầm và biên soạn: NGỌC HUYỀN Câu 1: Cho hàm số y = 2x x + + 1 3 , có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm m để đường thẳng d: y = x + m – 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có trọng tâm là điểm G ⎛ │ ⎝ - 3 2 ; 4 3 ⎞ │ ⎠ Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2017 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 . LỜI GIẢI +) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: 2x x + + 1 3 = x + m - 1 ⇔ 2x + 3 = ( x + m - 1 )( x + 1 ) (do x = –1 không là nghiệm). ⇔ x 2 + (m – 2)x + (m – 4) = 0 (1). +) Ta có: ∆ (1) = (m – 2) 2 – 4(m – 4) = (m – 4) 2 + 4 > 0 ∀ m ∈ R. ⇒ (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ⇒ d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. T h i D a i H o c 0 1 Lúc đó, gọi tọa độ A(x A Theo ; x A + m – 1) và B(x B ; x B + m định lí Viét: x A + x B = 2 – m. – 1) thì x A , x B là hai nghiệm u O phân n biệt của (1). +) G ⎛ │ ⎝ - 3 2 ; 3 4 ⎞ │ ⎠ là trọng tâm ∆OAB thì ⎧ ⎨ ⎩ x A y A + + x y + x + y = 3x = 3y 2 ⇔ ⎧ │ │ ⎨ │ │⎩ 2 - - m m L = i + 3 . 2 e - 3 2 m - 1 = 3 . 4 3 ⇔ m = 4 . Khi m = 4 thì O, A, B không thẳng hàng. Vậy m = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bình luận: − Bản chất của công thức x G = x A + x 3 B + x O B B và y u O G O p = s y A G O / + T y 3 B a ( + i y O ) là ( ) Các em nên – Nếu ta để hiểu ý bước rõ bản biến chất đổi để (1) 3OG ⃗⃗⃗⃗⃗ vững o ⎧ │ │ ⎨ │ │⎩ 2 ( = m 2 - kiến - ⃗⃗⃗⃗⃗ OA / m m g = + ) thức, r ⃗⃗⃗⃗⃗ OB o + không ⃗⃗⃗⃗⃗ OO 3 . - 3 2 + 2 ( m - 1 ) ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗ GO nên = 3 . 3 4 xuất + ⃗⃗⃗⃗⃗ GA + ⃗⃗⃗⃗⃗ GB = học thuộc công ⇔ phát 0⃗ . thức từ đẳng thức véctơ: một cách máy móc. w nhiên" phải như Cho tâm Biến w Mặt w đường khác, G thế với . đổi của khi f nào điểm tương a tam giải thẳng thì c G giác e hai tự có bất b d: lời thể phương ABO. kì y o giải = nào tìm o x k cũng trình . c có của thể hệ tìm (1) được đều nghiệm cho được m thỏa mãn yêu cầu + m – 1 (m là tham số) cắt bài toán gốc, ta được ⎧ │ │ ⎨ │ │⎩ m = 4 thì sẽ thấy một sự "trùng hợp ngẫu ra nghiệm m = 4. Như vậy ta có thể thấy rằng không tham số m thỏa mãn ⇒ Đặt vấn đề "những điểm G bài toán", ta có bài toán mở rộng sau: (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích các trọng x 2 y = - m 3 = m 3 y 2 3 x với m = 1 thì d: y = x là đường thẳng đi G ⇒ = - G qua G O nên không G . thể tạo thành tam giác ABO được. Do đó quỹ tích của trọng tâm G là đường thẳng y = 2 3 − x,trừ điểm ( 1 3 ; 1 3 ). Khi giải các bài toán tưởng chừng đơn giản các em cũng luôn phải tìm tòi suy nghĩ, luôn luôn đặt câu hỏi và trả lời để hiểu được một cách sâu sắc vấn đề. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài tập ứng dụng khảo sát hàm số chọn lọc Sưu tầm và biên soạn: NGỌC HUYỀN Câu 2: Cho hàm số y = 2x x - + 1 2 có đồ thị (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (d): y = –x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A, B cùng với điểm P(1;2) tạo thành một tam giác đều. LỜI GIẢI 2. Tọa độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của hệ phương trình: 2x + 2 y = −x + m { y = −x x − + 1 m 2x + 2 x − 1 c Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2017 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 y = y = −x + m x2 − (m − 1)x + m + 2 = 0 (1) o (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt a và b ⇔ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆> 0 ⇔ (m − 1)2 − 4(m + 2) > 0 ⇔ ⌊ ⇔ { = −x + m ⇔ { m ≤ −1 m ≥ 7 (∗) Với m thoả mãn điều kiện (*) PT (1) có 2 nghiệm { x A x A + x phân B x B = = m biệt m + − 2 x A và x B . Theo định lí Vi-et T h ta i có: D a i H Tọa độ giao điểm của (C) và (d) là A(x A ;−x A + m) và B(x 1 O n Gọi I là trung điểm AB.Tọa độ I là ( m 2 − 1 m 2 + 1 ) ⇒ ⃗⃗⃗ PI = B ( ;−x m 2 − B 3 + m m). 2 − 3 i );PI e u = √2( m 2 − 3 )2 AB = √(x A ; − x B )2 + [(−x A + m) − (−x B + m)]2 = Vecto ∆PAB ⇔ Kết Vậy Câu √2(m 4m2 hợp có 3: chỉ đều 2 − Cho với − giá phương 24m ⇔ 1)2 điều trị hàm { PI − − của PI kiện 8(m = 60 số của ⊥ m AB√3 y = AB thỏa 2 (*) + (d) = 0 x 2) ⇔ ta 4 là ⇔ mãn - = thấy { u⃗ 2mx { m m √2m2 4PI2 = bài = = ⃗⃗⃗ PI cả (1;−1) 2 c 3 3 + .u⃗ toán 2 = o − + − 2m giá = 3AB2 2√6 2√6 12m m 0 + là trị / m m − g của 4 ⇔ , = 14 r với { 3 m o 2(m = − m đều u m √2(x 2√6 là − p 2 − thoản tham 3)2 s 3 hoặc A .1 − / = số + mãn. x T 3 B 3(2m2 m thực. )2 + a 2 ; − 2√6. = i 3 √2[(x L − .(−1) 12m A = + − 0 x 14) B )2 − 4x A x B ] a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. b) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu mà các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1. LỜI GIẢI +) Xét hàm số y = x b o o k . Ta +) phân w w có: Hàm w biệt y . ′ số = ⇔ f 4x đạt m a 3 c e 4 – 2mx 2 . Tập xác định D = R. - 4mx ; y ′ = 0 ⇔ ⌈ │ ⌊ x x 2 = = 0 m cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình y' = 0 có ba nghiệm > 0. Lúc đó, đồ thị hàm số có một điểm cực đại là A(0; m 4 + 2m) và hai điểm cực tiểu là B ( - m ; m 4 - m 2 + 2m ) , C ( m ; m 4 - m 2 + 2m ) . Do tính chất đối xứng của đồ thị hàm số qua trục tung nên ∆ABC cân tại A. +) Gọi H là trung điểm BC ⇒ H(0; m 4 – m 2 + 2m) ⇒ S ∆ABC = 1 2 AH.BC = 1 2 m 2 .2 m = m 2 m . 1 0 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài tập ứng dụng khảo sát hàm số chọn lọc Sưu tầm và biên soạn: NGỌC HUYỀN Theo bài ra, S ∆ABC = 1 ⇔ m 2 m = 1 ⇔ m = 1, thỏa mãn. Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. Bình luận: Tổng quát bài toán trên: Cực trị hàm số bậc 4 trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0). Ta có: y ′= 4ax 3 + 2bx = 2x ( 2ax 2 + b ) ; y ′ = 0 ⇔ ⌈ │ │ │⌊ x Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2017 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 x = 0 2 = - 2a b (*) + Hàm số có đúng 1 cực trị ⇔ (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ⌈ │ ⌊ b ab = < 0 0 1 + Hàm số có 3 cực trị ⇔ phương trình y ′= 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ ab < 0. Lúc đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác cân, đó là: ( ) - b 2a ≤ 0 ⇔ H o c 0 A 0 ; c ; B ⎛ │ │ ⎝ - - 2a b y ⎛ │ │ ⎝ - - 2a b ⎞ │ │ ⎠ ⎞ │ │ ⎠ ⎛ │ │ ⎝ - 2a b y ⎛ │ │ ⎝ - 2a b ⎞ │ │ ⎠ ⎞ │ │ ⎠ (∆ABC D a i * Các kiểu câu hỏi: + Ba điểm cực trị tạo thành + Ba điểm cực trị tạo thành + Ba điểm cực trị tạo thành ; một tam một tam một tam ; C ; giác đều ⇔ AB = BC. giác vuông cân (và sẽ vuông giác có diện tích S ⇔ S ABC cân tại h i A). = 1 2 cân BC.d tại e ( A,BC A) u ⇔ O ) AB n T 2 + = 1 2 x B AC 2 = BC - x C .y A 2 . - y B = S . Câu 4: Cho hàm số y = x3 + 3x2 − 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm trên đường thẳng y = 9x − 7 những điểm mà qua đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số. LỜI GIẢI 2. Gọi M(m;9m − 7) là điểm bất kì nằm trên đường thẳng y = 9x − 7 Vì mọi đường thẳng có dạng x=m không là tiếp tuyến của đồ thị (C) nên ta xét d là đường thẳng đi qua M và có dạng: y = k(x − m) + 9m − 7 (d) Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 3 2 3 2 2 2 2 r o u p s / T a i L i Qua phân Do ⎧ │ ⎨ │ ⎩ 2 ⎧ │ ⎨ │ ⎩ 3 (5 x 2.1 x w x 3 đó - + + M 2 . + biệt: 3m) + 3 3 điều kẻ x 6 x (5 f x 2 2 được - - - = a - kiện 3m 2 3m).1 k 8(5 c = x k(x e ba 2 - của - + 9m) b tiếp 6m - 5 m o m) - x điểm là: o + + 9m k 9m . đến - - 5=0 c 7 ⇔ (C) o ⇔ ⎧ │ ⎨ │ ⎩ m khi 3 x 2 / g + 3 x - 2 = (3 + 6 )(x - m) + 9m - 7 x + 6 x = k hệ trên (x - 1) ⌈ ⌊ 2 x x có ba nghiệm phân biệt hay phương trình sau có ba nghiệm x 2 + (5 - 3m)x + 5 - 9m ⌉ ⌋ = 0 > 9m 0 ≠ 0 ⇔ ⎧ ⎨ ⎩ 9m m + 42m 15 1 0 1 ≠ - > ⇔ w w ⎧⌈ ││ │ ⎨ │ │ ⎩ m │ │ ⌊ m m ≠ < > 1 - 3 5 Vậy các điểm M cần tìm có tọa độ (m;9m − 7) với m < −5 hoặc 1 3 < m ≠ 1 . Bình luận: Để làm được và trình bày chặt chẽ bài toán trên, cần nắm vững một số điểm quan trọng sau đây: - Hàm đa thức nếu có tiếp tuyến thì tiếp tuyến đó tồn tại hệ số góc. Như trong lời giải, ta đã nhận xét x = m không tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Nhờ đó mà ta biểu diễn được phương trình (d) qua M có hệ số góc k. Nếu quên lập luận điều này thì lời giải sẽ thiếu chặt chẽ. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài tập ứng dụng khảo sát hàm số chọn lọc Sưu tầm và biên soạn: NGỌC HUYỀN - (d): y = kx + p tiếp xúc với đồ thị hàm số f(x) ⟺ { f(x) f ′(x) = kx = + p (1) k (2) Sau đó ta thay k từ phương trình (2) vào (1) rồi tìm m để (1) có 3 nghiệm. Kinh nghiệm giải bước tiếp theo là nhẩm nghiệm để tìm ra một nghiệm "đẹp", giả sử là x 0 (đối với bài này x 0 = 1). Sau đó phân tích thành nhân tử để đưa về một phương trình có dạng: (x − x 0 )(ax2 + bx + c) = 0 mà m nằm đâu đó trong a, b, c. Hàm số có 3 nghiệm ⟺ (ax2 + bx + c) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác x 0 . Như vậy ta tìm được m. Nếu không thể nhẩm ra nghiệm "đẹp" thì ta không thể tiến hành như trên mà phải xét hàm bậc 3 truyền thống. Câu 5: Cho hàm số y = x 2x - + 2 1 , có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương cho CA = 2 3 CB. trình đường thẳng d đi qua C(–3; 13) sao cho d cắt (C) tại hai điểm phân D biệt a A, B sao LỜI GIẢI +) A ∈ (C) ⇒ A Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2017 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 T h i ⎛ │ ⎝ - + ⎞ │ ⎠ ≠ - 2 1 ). O n B ∈ (C) ⇒ B a; 2a a 2 1 (với a u ⎛ │ ⎝ - + ⎞ │ ⎠ b ≠ - 2 1 ). i e +) b; 2b b 2 1 (với CA = 2 3 CB ⇔ ⌈ │ │ ⌊ 3CA 3CA = = - 2CB 2CB / T a i L Ta có: CA = ⎛ │ ⎝ a + 3; 2a a - + 2 1 - 13 ⎞ │ ⎠ u p s . – Nếu 3CA = 2CB ⇔ ⎧ │ ⎨ │ ⎩ 3 . ⎛ │ ⎝ 2a a - + 3a + = - ⎞ │ ⎠ = + ⎛ │ ⎝ - + r - o ⎞ │ ⎠ ⇔ ⎧ │ ⎨ │ ⎩ = + (1) 2 1 9 13 2b 2 2b / b 6 g 2 1 13 2b 3a 3 3 ⎛ │ ⎝ 2a a - + 2 1 - 13 ⎞ │ ⎠ = 3a 3a + + 3 3 - + 4 1 - 26 (2) (2) ⇔ ⎛ │ ⎝ - + - ⎞ │ ⎠ = - + ⇔ o - m . + - . + + = - + ⇔ 75a 2 + 150a + 75 = 0 ⇔ a =- 1 ⇒ b = 0 (thỏa mãn) ⇒ A(–1; 3); B(0; –2). – Nếu 3 a 2a 2 1 13 3a 1 3a 4 3a c ( 2 )( 3a 4 ) 132a ( 1 )( 3a 4 ) ( 3a 1 )( 2a 1 ) 3CA 2CB 3 o o 2a a k . 3a 9 ( 2b 6 ) 2b 15 3a 2 1 13 2 b 2b 2 1 13 3 a 2a = (3) = 2 1 13 3a 15 4 1 15 3a 26 (4) (4) w ⇔ ⇔ w 3a . 2a ( f + - - a c e ⇔ b ⎧ │ ⎨ │ ⎩ 2 ⎛ │ ⎝ + = - + - + - ⎞ │ ⎠ = - ⎛ │ ⎝ - + - ⎞ │ ⎠ ⇔ ⎧ │ ⎨ │ ⎩ ⎛ │ ⎝ - + - - - . . . ⎞ │ ⎠ = + + - - + 1 2 ) =- 3a 3a + + 14 19 + 65 ⇔ 3a ( - 2 )( 3a + 14 ) =- ( 3a + 19 )( 2a + 1 ) + 653a ( + 14 )( 2a + 1 ) ⎧ + + = ⇔ 2 + + = ⇔ │ │ ⎨ │ │ ⎩ w 375a 1950a 975 0 5a 26a 13 0 = - = - + - ∗) a = a 13 5 2 26 a 13 5 2 26 −13 + 2√26 −18 5 − 5 3√26 (thỏa mãn điều kiện). Suy ra: ⇒ b = ⎛ │ │ ⎝ A - 13 + 2 5 26 ; - 23 + - 24 + ⎛ │ │ ⎝ - - - + + 2 4 26 26 ⎞ │ │ ⎠ ⎞ │ │ ⎠ và B 18 3 5 26 ; 28 3 26 31 6 2 6 . và ⎛ CB = │ ⎝ b + 3; 2b b - + 2 1 - 13 ⎞ │ ⎠ H i c o 1 0 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài tập ứng dụng khảo sát hàm số chọn lọc Sưu tầm và biên soạn: NGỌC HUYỀN ∗) a = −13 − 5 2√26 ⇒ b = −18 − 5 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 3√26 (thỏa mãn điều kiện). Suy ra: A( −13 − 5 Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2017 2√26 ; 23 24 + + 2√26 4√26 );B( −18 + 5 3√26 ; −28 −31 + + 3√26 6√26 ) Bình luận: – Cách khai thác bằng véctơ là cách khai thác hữu hiệu và hợp lý nhất. Mặc dù khi sử dụng, chúng ta phải chia ra làm 2 trường hợp, nhưng cả 2 trường hợp đều có thể dễ dàng biến đổi ra được kết quả. Nếu để đoạn thẳng 3CA = 2CB thì vô cùng phức tạp. – Khi làm nhiều người thường quên trường hợp 3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ đi nghiệm của bài toán. – Gọi A, B cần chú ý đặt và kiểm tra điều kiện: a ≠ - 2 1 = −2CB và b ⃗⃗⃗⃗⃗ . 1 Như vậy sẽ vô cùng nguy hiểm và làm o c mất 0 1 nhưng vẫn sẽ mất điểm. Câu 6: Cho hàm số: y 1. Khảo sát sự biến thiên 2. Tìm giá trị của tham có bán kính bằng 1. Để đồ thị (1) có 3 điểm y′ = 4x3 − 4mx = 0 ⇔ Giả sử A(√m;1 − m2);B(−√m;1 Ta thấy A và B đối xứng ⇒ Tâm I của đường tròn Đặt I(0;y) ⇒ IC = R ⇔ ≠ = x4 − 2mx2 + 1 (1) và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi số (P) để đồ thị hàm số (1) có ba điểm LỜI GIẢI cực trị thì y′ = 0 phải có 3 nghiệm phân [ √(1 nhau x2 x ngoại = = − 0 qua m y)2 tiếp ⇔ − Oy, = ΔABC m2); [ x 1 do x x = ⇔ = = đó −√m C(0;1) nằm √m |1 0 tam − o trên y| giác u (m = p trục 1 ABC > s ⇔ 0) / Oy. [ cân T - a 2 m i . cực biệt. = Mặc L −1. trị i dù và e nó đường u không O n tròn T ảnh h đi i hưởng qua D a ba đến i điểm H kết này quả, tại C, nhận Oy làm trục đối xứng. ∗ y = 0 ⇒ I(0;0) ≡ IA = R ⇔ √m + (1 ⇔ m = 0 hoặc m = − 0. 1 hoặc m2)2 m = = 1 c ⇔ −1 o m4 m / − g 2m2 r + m = 0 y = 0 y = 2 Nhưng ∗ y = 2 do ⇒ m > 0 ⇒ m = o 1 k hoặc . ± √5 2 m = −1 + 2 √5 IA = R ⇔ KL:m = 1 √m I(0;2). hoặc c + e m (1 b = − o −1 m2)2 . = 1 ⇔ m4 + 2m2 + m = 0 (pt vô nghiệm ∀m > 0). w Bình + w + Câu Trong ΔCAB w . luận: 7: f a + 2 √5 . câu hỏi về luôn là tam Cho hàm số cực giác y = trị của hàm cân tại x 3 – 3x 2 trùng phương, C (C là điểm + 1 có đồ thị thuộc (C). ta nên dùng phương pháp tính trực tiếp. trục Oy). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): 9x – y + 6 = 0. LỜI GIẢI Ta có 'y = 3x 2 – 6x. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài tập ứng dụng khảo sát hàm số chọn lọc Sưu tầm và biên soạn: NGỌC HUYỀN Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 9x – y + 6 = 0 nên tiếp tuyến có hệ số góc là 9. Suy ra hoành độ của tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 3x 2 - 6x = 9 ⇔ x 2 - 2x - 3 = 0 ⇔ ⌈ │ ⌊ x =- 1 x = 3 – Với x = –1 ⇒ y(–1) = –3. Khi đó tiếp tuyến có phương trình là y = 9x + 6 (loại do trùng với đường thẳng d). – Với x = 3 ⇒ y(3) = 1. Khi đó tiếp tuyến có phương trình là y = 9x – 26, thỏa mãn. Vậy phương trình tiếp tuyến cầi tìm là y = 9x – 26. Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản. Chúng ta chỉ cần sử dụng 2 phần lý thuyết cơ bản: – Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc bằng nhau: k = k'. Chú ý: dùng từ "thì" mà không dùng tương đương bởi khi k = k' thì hai đường thẳng vẫn – Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm (x 0 ; y 0 ) có phương trình là: y = '(x 0 ) .(x – x 0 ) + y 0 . Đề yêu cầu viết đường thẳng song song với d nên phải loại đi trường hợp nó trùng d. Câu 8: Cho hàm số y = 2x - 1 x - 1 , có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến điểm A, B phân biệt thỏa mãn AB = 82 OB. LỜI GIẢI +) Ta có: y =′ ( x - - 1 1 )2 . f này cắt trục i L hoành i e u và O trục n T tung h có i lần thể D lượt a trùng i tại H nhau. các o c Gọi 0 Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2017 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 0 0 a M ⎛ │ │ ⎝ x ; 2x x - - 1 1 ⎞ │ │ ⎠ là tiếp điểm. s / T Phương trình tiếp tuyến tại M là: y =- ( x 1 - 1 ) ( o x - u x p + 2x x - 1 - 1 0 2 0 ) 0 0 . +) Tiếp tuyến cắt trục Ox tại r ( 2 0 m 0 / g ) B ⎛ │ │ ⎝ 0 ; - 2x 0 + 2x x 0 - 1 2 0 2 + 1 ⎞ │ │ ⎠ . ΔOAB vuông tại O ⇔ OA 2 A . 2x c o - x + 1 ; 0 , cắt Oy tại ( ) ⇒ OA 2 Ta có: (1) – Với x 0 + OB 2 = 82.OB 2 ⇔ a 2x c 2 0 - e x 0 b + ⇔ o 1 ( + OA OB k 2 2 = AB 2 . Mặt khác ta có: AB = = 81.OB 2 ⇔ OA = 9.OB (1). ( ) 82.OB . = o 9 . - 2x 0 + 2x x 0 - 1 2 0 2 + 1 ⇔ ( x 0 - 1 ) = 9 ⇔ ⌈ │ ⌊ x x 0 0 = = 2 4 – Bình w Với w luận: w x 0 . = = 2, f y 1 9 x 2 ) 5 3 4, ta ta có: có: = + + . y =- 1 9 ( x - 4 ) + 7 3 . – Một hướng đi quen thuộc trong kiểu bài tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Ta có y'(x 0 ) chính là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị tại đó. Từ đó ta có được phương trình tiếp tuyến và có thể tìm ra được tọa độ A,B theo x 0 . – Các em để ý dữ kiện AB = 82.OB . Ta có chút gì đó nghi nghờ. Sao lại là 82 mà không phải là số khác (82 gần 81)? Từ đó ta kết hợp với ΔOAB vuông tại O ⇒ OA = 9.OB. Đến đây bài toán được giải quyết. 1 0 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài tập ứng dụng khảo sát hàm số chọn lọc Sưu tầm và biên soạn: NGỌC HUYỀN Câu 9: Cho hàm số y = - 2x x - + 1 4 (1), có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các điểm đó song song với nhau, đồng thời ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O. LỜI GIẢI Gọi A(a; −2a a − + 1 4 );B(b; −2b b − + 1 4 ) (a ≠ b) Hệ số góc tại tiếp tuyến của A và B lần lượt là: k 1 = − (a − 2 1)2 ;k 2 = − (b − 2 1)2 . Do 2 tiếp tuyến song song nên k 1 = k 2 a i H o c 0 1 ⇔ (a − 1)2 = (b − 1)2 ⇔ [ a Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2017 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 a = + b b (loại) = 2 (1) D Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ OA = ( a; −2a a − + 1 4 ); ⃗⃗⃗⃗⃗ OB = (b; −2b b − + 1 4 ) T h i ΔOAB là tam giác vuông tại O. Ta có: n OA.OB = 0 ⇔ ab + ( - 2a ( a + u O - 4 1 )( )( b - 2b - 1 + ) 4 ) = 0 (2). e Rút b = 2 – a từ (1) thay vào (2) ta có: a ( 2 - a ) + ( - 2a ( a + - 4 1 ) ( )( - 2 22 - ( a - - a 1 ) ) + 4 ) Vậy A Nhận – – điểm Câu 1. 4 Đây Điều (3; Khảo có 10: A, 1), xét: là tất kiện B dạng B Cho sát như cả 4 (–1; đề và 4 hàm bài trên. cặp bài vẽ –3). tập số đồ điểm cho tiếp thị y o là = thỏa hàm ( k ΔOAB tuyến x + . 2 mãn số )( c của vuông, x ( o )C - đề 1 m đồ . )2 bài / thị vì ( C đó g vậy ) hàm . r là = o A 0 1 (–1; u ⇔ p a –3), s a - / B 3 T 1 (3; a a - 1); i 2 L i a + 1 = 0 ⇔ A 2 (0; –4), số ta thường phải dùng đến ta sẽ dùng vector ⃗⃗⃗⃗⃗ OA .OB ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ⌈ │ │ │ │ ⌊ a = - 1 ⇒ b = 3 a = 0 ⇒ b = 2 a = 2 ⇒ b = 0 a = 3 ⇒ b = - 1 B 2 (2; 0); A 3 (2; 0), B 2 (0; –4) và hệ số góc của tiếp tuyến là y'. từ đó đưa đến cách gọi tọa độ 2. vuông Tìm góc các với điểm c e đường b M o trên đường thẳng x + thẳngd:y 9y - 8 = 0 . = - 2x + 19 , biết rằng tiếp tuyến của đồ thị ( )C đi qua điểm M w w Hướng Bài – Thứ w toán . nhất giải: f này a đọc cũng kỹ khá đề bài quen ta LỜI GIẢI thuộc. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích để tìm sẽ thấy mấu chốt đầu tiên: Tiếp tuyến của đồ ra kết quả. thị (C) đi qua M vuông góc với đường thẳng x + 9y – 8 = 0. Từ điều này ta tìm ra hệ số góc của tiếp tuyến qua M là 9. Mà hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị (C) tại điểm N(x 0 ;y 0 ) chính là f'(x 0 ). Như vậy ta sẽ tìm ra x 0 và viết công thức tiếp tuyến của (C) mà vuông góc với đường thẳng x + 9y - 8 = 0 . Dựa vào công thức tiếp tuyến đã biết: y = y ' (x - x 0 ) + y 0 . ( )( )( ) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài tập ứng dụng khảo sát hàm số chọn lọc Sưu tầm và biên soạn: NGỌC HUYỀN – Sau khi đã có tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng yêu cầu rồi công việc cuối cùng của chúng ta là tìm M. M chính là giao điểm của đường thẳng (d) và tiếp tuyến trên. Hướng làm bài toán này là như thế, bây giờ chúng ta sẽ hoàn thiện nó qua lời giải sau. Lời giải: Từ giải thiết: Gọi N(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến đồ thị (C) đi qua M và vuông góc với đường thẳng x + 9y - 8 = 0 , ta suy ra f'(x 0 ) = 9 ⇔ 3x 2 0 - 3 = 9 ⇔ x 0 =± 2 . – Với x 0 = 2 ⇒ y 0 = 4 , ta có tiếp tuyến của đồ thị (C) tại N là: y = (x - 2).9 + 4 = 9x - 14 . Tọa độ M là nghiệm của hệ ⎧ ⎨ ⎩ y y =- = 9x 2x - + 14 19 ⇒ M(3; 13). – Với x 0 = - 2 ⇒ y 0 = 0 ⇒ tiếp tuyến tại N là y = (x + 2).9 = 9x + 18 . Tọa độ M là nghiệm của hệ ⎧ ⎨ ⎩ y y =- = 9x 2x + + 18 19 ⇒ M ⎛ │ ⎝ 11 1 ; 207 11 ⎞ │ ⎠ . Kết luận: Có 2 điểm M thỏa mãn yêu câu bài toán là M 1 (3; 13) và M 2 ⎛ │ ⎝ 11 1 ; 207 11 Tư liệu tham khảo: - Bộ đề thi thử các trường THPT chuyên 2014- 2015 - Sách "Chinh phục đề thi thử THPT quốc gia môn Toán tập 1 - Sách "Chinh phục bài tập ứng dụng khảo sát hàm số - - Đề thi ĐH chính thức của BGD 2013, 2014. ⎞ │ ⎠ w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p Lovebook". s / – T Lovebook". a i L i e u . O n T h i D a i H o c Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2017 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 1 0