- Tên Ebook: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng phần 1
- Loại file: PDF
- Dung lượng: 545 KB
- Số trang:
LINH TẢI:
TRÍCH DẪN:
Chuyên đề 1. Tính nguyên hàm bằng cách áp dụng tính chất f '(x)dx f (x) C . Giả sử ta cần tìm nguyên hàm I g(x)dx Sử dụng các phép biến đổi của đạo hàm để đưa g(x) f '(x) . Khi biến đổi, cần lưu ý đến các công thức đạo u ' v ' u v ' u ' v v ' u (uv) ' u ' v v ' u u ' v v 1.2. Các ví dụ minh hoạ x sin 2xdx ' 1 1 1 x sin 2x x cos 2x x ' cos 2x cos 2x 2 2 2 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM CHƯƠNG 3. NGUYÊ HÀM – TÍCH PHÂN ' ' 1 1 1 1 x cos 2x (sin 2x) ' x cos 2x sin 2x 2 4 2 4 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Do đó: 1 1 I x cos 2x sin 2x C 2 4 . sin 3x.e dx 1.1. Phương pháp: hàm: 2x 2x 2x 2x 1 1 3 ' sin 3x.e sin 3x e ' e sin 3x e cos 3x 2 2 2 ' ' 1 3 1 1 92x 2x 2x 2xsin 3x.e cos 3x e e . cos 3x ' e sin 3x2 2 2 2 4 2 .boxtailieuet ' 13 1 3 2x 2x 2x e sin 3x sin 3x.e e cos 3x 4 2 4 I . .n Ví dụ 3.1.1. Tìm họ nguyên hàm: Do đó: 4 1 3 2x 2x I sin 3x.e e cos 3x C 13 2 4 Lời giải. Ta có: . x ln xdx 2x I . w Ví dụ 3.1.2. Tìm họ nguyên hàm Lời giải. ww Ta có: Suy ra Ví dụ 3.1.3. Tìm họ các nguyên hàm 2 I . Lời giải. Nguyễn Tất Thu Page 1 www.boxtailieu.net ' 3 3 ' 2 3 3 3 x x 1 1 1 x ln x ln x (ln x) ' x ' x ln x x 3 3 9 3 9 Do đó: 1 1 3 3 I x ln x x C 3 9 . x 1 e dx 1 1 1 x 1 e x e e x 1 e e x x x x x x x e x '.e xe x x x 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x ' ' 1 1 1 xx I xe C . 1 dxln x x Chuyên đề: NGUYÊN HÀM ln x ln x ln x ln x ln x 1 1 ln x 1 x ' ln x x.(ln x) ' x Ta có: I C ln x . sin x e dx cos x Ví dụ 3.1.4. Tìm họ nguyên hàm 1 xx 1 . Ix 2 2 2 Lời giải. x x sin cos 1 sin x 1 1 x 2 2 e e tan 1 e Ta có: 2 1 cos x 2 2 2 x .net ' 1 x x 1 x x2 x x x x (1 tan )e 2e tan 2 tan e 2 e ' tan2 2 2 2 2 2 x x x 1 Do đó: e tan2 . ilieu Ví dụ 3.1.5. Tìm họ nguyên hàm 1 I ln 2 I e tan C 2 . Lời giải. Ta có: .boxta ' Do đó: x . ww Ví dụ 3.1.6. Tìm họ các nguyên hàm I1 1 x Lời giải. Ta có: w 2 2 2 cos2 ' x x Do đó: x x 1.3. Bài tập. Bài 3.1.1. Tìm họ các nguyên hàm sau Nguyễn Tất Thu Page 2 www.boxtailieu.net 1) I (2x 1) cos xdx 2) 2x I xe dx 3) 3xI cos 2x.e dx4) I x ln(x 1)dx 5) 2x I x ln xdx I dx sin x 6) 2 x x 1 I e dx 7) 1 x cot x I dx 2 ln x 1 I xdx sin x (x 1) ln x 10) 33 4dxI(1 x ). 1) Ta có: (2x 1) cos x (2x 1)(sin x) ' (2x 1) 'sin x 2 sin x (2x 1) sin x ' 2(cos x) ' (2x 1) sin x 2 cos x ' Do đó: I (2x 1) sin x 2 cos x C . 2 2 2 2 4 2 4 2) Ta có: 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x1 1 1 1 1 1 1xe x e ' x '. e e xe ' e ' xe e ' Do đó 1 1 2x 2x I xe e C 2 4 . '' 3x 3x 3x 3x 1 1 3 cos 2x.e sin 2x e sin 2x e sin 2x.e 2 2 2 ' '' 1 3 1 1 9 3x 3x 3x 3x sin 2x.e cos 2x .e cos 2x. e cos 2x.e2 2 2 2 4 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM ' 13 1 3 3x 3x 3x cos 2x.e sin 2x.e cos 2x.e 4 2 4 Vậy1 3 3x 3x I sin 2x.e cos 2x.e C 2 4 . 8)2x 2 9) 2 ' 2 1 1 1 x 2 2 ' x ln(x 1) x . ln(x 1) x ln(x 1 2 2 2 x 1 Hướng dẫn giải Bài 3.1.1. ' 1 1 1 2x ln(x 1) x 1 2 2 x 1 2 2 2 Vậy 1 1 1 2 2 I x ln x 1 x x ln(x 1) C . www.boxtailieu.net x sin x x. cot x x ' cot x cot x x cot xsin x sin x Suy ra I x cot x ln sin x C . 2 2 2 2 2 1 1 x ln x x ln x x ln x ' x ln x ' ' 3) Ta có: 2 2 ' ' 1 1 1 1 2 2 2 2 ' x ln x x ln x x ln x x 2 2 2 2 Suy ra 4) Ta có: ' 5) Ta có: 2 ' 6) Ta có: Nguyễn Tất Thu Page 3 www.boxtailieu.net ' 1 1 1 2 2 2 2 x ln x x ln x x 2 2 4 Vậy1 1 1 2 2 2 2 I x ln x x ln x x C 2 2 4 . 1 x cot x sin x x cos x x x 'sin x x. sin x ' sin x sin x sin x sin x I C sin x . x x 1 xe (x 1)(e ) ' (x 1) ' e e e e 2 2 (x 1) (x 1) (x 1) x x e e e e 2 x x x x 1 x 1 x x x 2 2 2 I e C x 1 ' ' ' x x xln x ln x ln x ln x 2 ln x 1 2x ln x x (x ) ' ln x x (ln x) ' x I C ln x . Chuyên đề: NGUYÊN HÀM ' 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 3 2 3 2 3 2x 1 x 1 1 x x (1 x ) (1 x ) (1 x ) . (1 x ) (1 x ) x '. 1 x x. 1 xx ' 7) Ta có: 3 3 3 3 2 . (1 x ) 1 x Do đó x I C ' 3 3 ' 1 x 8) Ta có: 3 3 2 3 3 www.boxtailieu.net Chuyên đề 2. Nguyên hàm P(x) I dx x x e Suy ra . u dx 1 ln ax b Cax b a du ln u C 9) Ta có: dx 1 1 1 C n 1 a (ax b) (ax b) với n 2 2x Vậy 3 3 3 n n 1 10) Ta có: x Vậy 3 3 . Q(x) 2.1. Phương pháp giải Sử dụng các phép biến đổi đưa về các nguyên hàm cơ bản sau Nguyễn Tất Thu Page 4 www.boxtailieu.net dx 1 x arctan C x k k k 2 2 2.2. Các ví dụ minh hoạ x 1 dx 1 Ta có: 2 2 2x x 1 2(x 1) 3(x 1) 2 I 2x 2 3 dx x x 2 ln x 1 C x 1 Chú ý: Cho f (x) là đa thức bậc n . Khi đó: f (x ) f '(x ) f (x) (x x ) ... (x x ) f (x ) n ! 1 ! f (x ) là đạo hàm bậc k của hàm số f tại 0x 3x 1 dx 1) (n)0 0 n 0 0 0 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Ta có: 2 2 x 3x 1 (x 1) (x 1) 3 . 1 1 1Cx 1 2(x 1) (x 1) 1 1 3 I dx . (x 1) (x 1) (x 1) Chú ý: Để giải bài trên, ta có thể thực hiện phép đổi biến số bằng cách đặt t x 1 Suy ra x t 1 dx dt Ví dụ 3.2.1. Tìm họ các nguyên hàm sau 2 2x Ix. (t 1) 3(t 1) 1 t t 3 1 1 3 I dt dt dt 2 3 Suy ra 2 3 4 t t t t t 1 1 1 1 1 1 C C Lời giải. t x 1 2t t 2(x 1) (x 1) . 3 3 (x 1) dx 2x 1) 2 2 Suy ra 2 2 . 4 4 2 3 4 2 3 2 3 net Ta có: 3 3 3 2 2 x (x 1) 2x 3x 3x 1 (2x 1)(x x 1) Trong đó (k)0 t 2x 2x 1 dt (4x 2)dx 2(2x 1)dx . lieu. Ví dụ 3.2.2. Tìm họ các nguyên hàm 2 x I 4 (x 1 t 1 1 1 1 1 1 I dt dt C 4 4 4t t t t 8t 1 1 C www.boxtai 4(2x 2x 1) 8(2x 2x 1) Lời giải. . Suy ra 3 2 3 2 2 2 2 Ví dụ 3.2.3. Tìm họ các nguyên hàm sau 3 x I . 2 (2x Lời giải. Đặt 2 Ví dụ 3.2.4. Tìm họ các nguyên hàm Nguyễn Tất Thu Page 5 www.boxtailieu.net x 1 dx 5x 6 Ta có: 216x 17 I 3 dx x 5x 6 Ta phân tích 16x 17 a(x 2) b(x 3) Cho x 2, x 3 ta tìm được a 31, b 15 Suy ra 31 15 I 3 dx 3x 31 ln x 3 15 ln x 2 Cx 3 x 2 . 4 dx 4x Ta phân tích: 3x 4 ax(x 2) bx(x 2) c(x 2)(x 2) Cho x 0, x 2, x 2 ta có được:4 4c5 1 2 8b a , b , c 1 4 4 10 8a . 2 1) Suy ra 5 1 1 1 1 5 1 I dx ln x 2 ln x 2 ln x C4 x 2 4 x 2 x 4 4 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 2 3x I . 2 x Lời giải. 4 4 (1 x)(1 x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x) x 1 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 1(1 x) (1 x) 1 1 1 1 1 4 1 x 1 x (1 x) (1 x) Suy ra 1 1 1 x 1 I ln C Ví dụ 3.2.5. Tìm họ các nguyên hàm sau 3x I . 3 x 4 x 1 1 x x 1 . 3 dx 1 ilieu.net Lời giải. 2 2 Ta có: 2 2x 3 (ax b)(x 1) c(x x 1) 1 3c1 8 1 x 1, x 0, x 1 3 b c c , b , a 3 3 3 5 2a 2b c . oxta Ví dụ 3.2.6. Tìm họ nguyên hàm dx I 2 (x Lời giải. Ta có: www.b 2 Ví dụ 3.2.7. Tìm họ các nguyên hàm sau 2x I . 3 x Lời giải. Cho Nguyễn Tất Thu Page 6 www.boxtailieu.net 3 x 1 3 3 6 3x x 1 x x 1 x x 1 1 dx 1 x 8 1 1 2x 1 5 dxI dx ln x 1 1 1 5 2 3 6 3 ln x 1 ln x x 1 J dx 1 1 2x 1 2 2x 1J 4 4. . . arctan C . arctan C (2x 1) 3 2 3 3 3 3 Do đó:2 2 2 . 1) cos x x sin x dxcos x x sin x Ta có: (x 1) cos x x sin x x cos x cos x x sin x ' 1 1 cos x x sin x cos x x sin x cos x x sin x Suy ra I x ln x sin x cos x C . 4 1 1 1 x 4 (x 2) 4x (x 2x 2)(x 2x 2) Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Ta phân tích: 2 2 1 (ax b)(x 2x 2) (cx d)(x 2x 2) a c 0 2a b 2c d 0 1 1 1 a , b d , c a b c d 0 8 4 8 Ta có: 4 2 2 2 2 2 2b 2d 1 Ta có: 2 1 1 x 2 1 x 2 x 4 x 2x 2 x 2x 2 8 8 Ví dụ 3.2.8. Tìm họ các nguyên hàm sau (x I . 8 8 8 8 x 2x 2 x 2x 2 (x 1) 1 (x 1) 1 1 x 1 1 x 1 1 1 1 1 . . 1 x 2x 2 1 I ln arctan(x 1) arctan(x 1) C8 8 x 2x 2 Suy ra 4 2 2 Lời giải. . 1 et 2 2 2 2 . u.n Ví dụ 3.2.9. Tìm họ nguyên hàm dx I 4 x 1 x 1 x 1 x www.boxtailie x 1 (x 1)(x x 1) x x 1 x 1 Lời giải. x 1 d(x ) 1 dx arctan(x ) C x 1 x 1 3 3 2 2 2 6 2 4 2 4 2 6 2 33 6 6 Đồng nhất hệ số ta có: 2 Suy ra 2 Ví dụ 3.2.10. Tìm họ nguyên hàm dx I . 6 x Lời giải. Ta có: Mà: Nguyễn Tất Thu Page 7 www.boxtailieu.net 1 1 1 x x 1 (x 1) 3x (x 3x 1)(x 3x 1) Ta phân tích: 2 2 1 ax b x 3x 1 cx d x 3x 1 a c 0 4 2 2 2 2 2 2 a 3 b c 3 d 0 1 1 1a , b d , c a b 3 c d 3 0 2 3 2 32 . b d 1 1 1 x 3 1 x 3 x x 1 x 3x 1 x 3x 1 2 3 2 3 2 2 2 21 2x 3 1 2x 3 1 1 14 3 4 3 x 3x 1 x 3x 1 x 3x 1 x 3x 14 Suy ra 4 2 2 2 dx 1 x 3x 1 1 ln arctan(2x 3) arctan(2x 3) C x x 1 x 3x 1 4 3 2 1 1 x 3x 1 1 I arctan(x ) ln arctan(2x 3) arctan(2x 3) C3 2 4 3 x 3x 1 . 2 x 1 dx 1 4 2 2 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 d(x ) 1 1 1 1 x 1dx d(x ) ln C ' Đồng nhất hệ số ta có: x 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1 x 13 6 6 4 2 4 2 2 2 6 6 6 4 2 6 1 d x x 1 1 x 1x x J dx dx arctan C " 2 3 3 x x 1 3 x 31 1 x 3 x 3 6 3 3 3 3 3 x x lieu.net 1 x 1 1 x 1 I ln arctan C 6 x 1 3 x 3 2 2 2 Do đó: 4 2 2 2 2 . 2 1 dx 3x 1)(3x 5x 3) 3 2 2 Vậy 3 2 . xtai Ví dụ 3.2.11. Tìm họ nguyên hàm 4 x I 6 x Lời giải. Ta có: www.bo 3 Vậy 1 1 3 Ví dụ 3.2.12. Tìm họ nguyên hàm 2 x I . 2 (x Lời giải. Nguyễn Tất Thu Page 8 www.boxtailieu.net x I dx 1 1 x 3 3(x ) 5 x x 1 1 t x dx 1 dx Suy ra dt 1 3 1 1 3t 5 I dt ln C(t 3)(3t 5) 4 3t 5 t 3 4 t 3 1 3x 5x 3 ln C 4 x 3x 1 . x 2x 33) I dx 2 2x 3x 1 1) I dx 3x 1 2) I dx x 2 x 1 (x 2) x 3x 2 5) I dx 3x 4 4) I dx xI dx (x 1) x 5x 4 x 3x 2 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM x x I dx Ix 1 (x 1) I dx (2x 3x 1) 1 1 Ta có:2 (1 5x) 2x J dx 3 2 3 x 2x 1 x x 1 10) 3dx Ix 2x Đặt2 x x 14)23x x 1 I dx xI dx x(1 x)(1 x x ) x 3x 2 x 2x 1 4 2 12) 4 2 x dx I x x 4x 1 I dx x x 18) 4 3 2(x 1)dxIx 4x 6x 4x 2 2 (x 4) 2 x dx I 4 2 x 1 I dx 3 2 2.3. Bài tập www.boxtailieu.net 21) 6 2dxIx(x 1) (x 1) x(x 3x 2) Bài 3.2.1. Tìm họ các nguyên hàm sau 6 2 4 3 (x 2)dx I x 1 I dx x 2x x 2x 1 24)24 2x 1I dxx x 1 . 22 x(x 8)(x 8x 2) 2 2 6 3 32 6) 5 2 3 4 2 4 3 2 9)35 8)2 x 7) 1 2 4 11) dx I 0 15)3 dx I 13) 2 17)2 16) 4 20)3 19) 3 23)2 22) Hướng dẫn giải. Bài 3.2.1. Nguyễn Tất Thu Page 9 www.boxtailieu.net I 2x 1 dx x x ln| x 2| C x 2 3x 1 2 2 2 I dx (x x 1 )dx x 1 x 1 3 2 x x x 2 ln| x 1| C 3 2 . (x 2) 2(x 2) 3 I dx (x 2) 2 3 3 1 dx x 2 ln| x 2| Cx 2 x 2 (x 2) 4) Ta có: 3x 4 I dx (x 1)(x 2) Ta xác định a, b sao cho: 3x 4 a(x 1) b(x 2) (a b)x a 2b a b 3 a 10 a 2b 4 b 7 (x 1)(x 2) x 2 x 1 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 10(x 1) 7(x 2) 10 7 I dx dx 1) Ta có: 1 2 10 ln| x 2| 7 ln| x 1| C . x 3x 2 18x 22 x 5 2) Ta có: x 5x 4 x 5x 4 50 4 (x 1) (x 4) 3 3 50 1 4 1 x 5 x 5 3 41 1(x 1) d(x 1) (x 1) d(x 1) C3 x 1 4(x 1) . (x 1)(x 4) 3 x 4 3 x 1 2 2 2 3) Ta có: 50 1 4 1 I x 5 dx 2 3 x 4 3 x 1 . 2x 50 4 5x ln| x 4| ln| x 1| C 2 2 3 3 . www.boxtailieu.net x 1 1 1 1 I du d(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) 6) Ta có: 5 4 5 4 5 (x 1) 3 5) Ta có: 2 x I 7) Ta có: 2 Nguyễn Tất Thu Page 10 www.boxtailieu.net Đặt t x 1 x t 1 dx dt t t t t (t 1) 2 1 1 I dt 1 dt t 2 ln t C x 1 x 1 2ln x 1 C 2 2 8) Đặt 3 2 2 t 2x 3x 1 dt 6(x x)dx Đặt 2 1 dt 1 1 1 1 I C 6 18 18 t t (2x 3x 1) x 1 6dx t dt x 1 dx I1 5x (1 5x) 1 5x (1 5x) 3 2 3 2 2 4 4 1 t 1 x 1 3 6 24 24 1 5x I t dt C C dx xdx I t x 2 dt 2xdx hay 1xdx dt x 2x x 2 x Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 1 dt 1 1 1 1 1 t 2t t 2 2 I dt dt dt ln Ct t 2 t t 2 4 4 t 2 t 4 t 3 2 2 2 1 x ln C 4 x 2 1 . 2x 4x 2 J dx 2 dx x 2x 1 x 1 x 1 1 3 1 3 1 1 dx 4 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 4 2 2 2 3 1 1 1 1 3 ln x 1 3 ln x 1 C 9) Ta có: . Đặt2 www.boxtailieu.net 2 x 1 x 1 . 2 dx dx I 2 2 (x 1) x (x x 1)(x x 1) . 2 2 1 (ax b)(x x 1) (cx d)(x x 1) 3 2 (a c)x ( a b c d)x (a b c d)x b d 10) a c 0 2 12) Ta có: 2 2 2 2 2 a b c d 0 1 1 1 b d , a , c a b c d 0 2 2 2 . b d 1 Khi đó: 2 . 2 11) Nguyễn Tất Thu Page 11 www.boxtailieu.net 1 2x 2 2x 2 I dx 4 x x 1 x x 1 1 2x 1 1 2x 1 1 dx 4 x x 1 x x 1 1 3 1 3 Suy ra : 2 2 x x 2 4 2 4 1 x x 1 2 2x 1 2 2x 1 ln arctan arctan C4 x x 1 3 3 3 3 . 2 2 2 2 x x 1 (x x) 1 1 I dx dx (x x)(x x 1) x x x x 1 x 2 2x 1 ln arctan C x 1 3 3 2 2 14) Ta có: 3 2 x 3x 2 (x 1) (x 2) 2 2 2 2 Và 2 2 2 1 x x 1 (x 1)(x 2) (x 2) (x 1) 3 3 Nên 2 1 1 I ln x 1 ln x 2 C 3 x 1 3 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 1 tdt I2 t 2t 1 t x xdx dt . Suy ra 2 1 1 I ln x 1 C 2 x 1 16) Ta có : 3 2 2 3 x x 4x 1 (x 1) 3x(x 1) 2x (x 1) x 1 3 I 2 ln x ln x 1 C . t x x dx dt 2 2 1 dt 1 2x 1 x 2 I ln C 3 48 2 (t 4) x 4 x 2 13) Ta có: 17) Đặt 3 2 1 18) Ta có : 4 3 2 2 2 x 4x 6x 4x 2 (x 2x 1) 3 www.boxtailieu.net 3 3 t x 2x 1 2 2 6 3 2 t 3 x 2x 1 3 4 3 1 dt 1 x 2x 1 3 I ln C . (x 1) 2(x 1) u x du 3x dx xdx 1 dv v 2 2 . x 3 1 I (1 )dx 3 2 2(x 1) x 1 2 15) Đặt 2 1 2 2 2 2 2 . 2 2 2 Nên2 2x x 3 . Suy ra Đặt 2 2 . 19) Đặt 3 Nguyễn Tất Thu Page 12 www.boxtailieu.net x 3 1 x 1 x ln C 2(x 1) 2 2 x 1 . 1 t 1 1 t 1 t x I dt dt 3 3 t(t 1)(t 2) t(t 3t 2) 3 1 t 1 t(t 1) (t 1)(t 2) 2t(t 2) 2 2 Suy ra 1 1 2 3 3 3 I ln x 2 ln x ln x 1 C 2 6 3 . 1 dt 1 1 1 1 t x I dt 6 6 t t 1 t(t 1) (t 1) 1 x 1 I ln C 6 x 1 x 1 . 21) Đặt 62 2 t x 8x dt (x 2)dx 4 . 1 dt 1 x 8x I ln C 6 6 4 t(t 2) 8 x 8x 2 22) Đặt 4 3 1 x I dx 1 1 (x ) 2(x ) 3 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM x x 3 1 dt 1 x x 1 t x I ln C 2 x 4 t 2t 3 x 3x 1 20) Đặt 32 1 1 x x I dx dx x 1 1 2 2 x 3 1 1 t x dt 1 dx 24) Ta có :2 22 2 dt 1 t 1 x 1 I arctan C arctan C t 3 3 3 3 3x 6 Suy ra www.boxtailieu.net . dx deg(P) (ax b) b)m 1 C 1)a(ax b) dx b) 4 . Suy ra 4 1 1 23) Ta có :2 2 2 Đặt . 1 2 x x Đặt2 x x 2 Suy ra 2 TỔNG KẾT Bài toán: Tìm nguyên hàm P(x) IQ(x) , trong đó P(x) , Q(x) là hai đa thức và deg(Q). Trường hợp 1: m Q(x) , ta có: 1 dx I I a) Với dạng: m (m (ax P(x) I ta phân tích b) Với dạng: m (ax Nguyễn Tất Thu Page 13 www.boxtailieu.net n 1 0 P(x) a (ax b) ... a (ax b) a . I dx (ax b) a.(m i 1)(ax b) nim i Trường hợp 2: 2 Q(x) ax bx c . i 0a a) Với dạng 2dx Iax bx c nim i 1 i 0a C Khả năng 1: Nếu 2 b 4ac 0 , khi đó ta luôn có sự phân tích : ax bx c a(x ) 2a . dx 1 dx 1 1 I C b b b a a a(x ) (x ) x 2a 2a 2a 2 2 b Khả năng 2: Nếu 21 2 0 ax bx c a(x x )(x x ) . x x k (x x ) (x x ) 2 2 k 1 1 k x x I dx ln Cx x x x x x x x x x Chuyên đề: NGUYÊN HÀM n Ta có: 1 2 0 ax bx c a (x ) m2a 2 1 Suy ra: x m tan t 2a . 2 1 2 1 2 1 1 Khả năng 3: 2 2 2 b . b) Với dạng 2mx n I dx ax bx c m mb mx n (2ax b) n 2a 2a . Khi đó ta có các trường hợp sau m 2ax b mb dx I dx (n ) 2a 2a ax bx c ax bx c m mb dx ln ax bx c (n ) 2a 2a ax bx c www.boxtailieu.net 2 2 ax bx c c) 2P(x) I dx ax bx c k mx n P(x) g(x) ax bx c . Suy ra: 2 Trường hợp 3: 2 k Q(x) (ax bx c) . Để tìm I ta thực hiện phép đặt b Với2 m 4a ta biến đổi như sau 2 2 Nguyên hàm 2dx ta vừa nêu cách tìm ở trên. với P(x) là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2 Với dạng này ta thực hiên phép chia đa thức 2 Nguyễn Tất Thu Page 14 www.boxtailieu.net (ax bx c) Khả năng 1: 21 2 0 ax bx c a(x x )(x x ) (x x ) 1 (x x ) (x x ) a) Với dạng: 2 k 1( 1) C (x x ) (x x ) (x x ) 1 2 k 2 1 0 ax bx c a(x ) 2a ki i k i i k 1 2 k 1 dx 1 1 I C 2 1 i 1 b b a a (2k 1) (x ) (x ) 2a 2a Khả năng 2: 2 2 b Khả năng 3: 2 2 2 0 ax bx c a(t m ) t x , m Suy ra: k k 2k 2k 1 ta đổi biến t tan u . (t m ) mx n I dx Chuyên đề: NGUYÊN HÀM (ax bx c) dx I m mb mx n (2ax b) n 2a 2a Để tính nguyên hàm: 2 2 k m d(ax bx c) mb dx I (n ) 2a 2a (ax bx c) (ax bx c) b) Với dạng: 2 k 1 Ta phân tích: k P(x) I dx (ax bx c) n 1 P(x) a (ax bx c) ... a (ax bx c) x với deg P 2n 2 k 2 k Thay vào ta tìm được I . n 1 P(x) a (tx l)(ax bx c) ... a (ax bx c) x với deg P 2n 1 c) Với dạng: 2 k a) Nếu Q(x) có m nghiệm phân biệt x , x ,.., x 1 2 m , ta có Ta biểu diễn: 2 n 2 . Q(x) (x x )(x x )...(x x ) 1 2 m. www.boxtailieu.net Hoặc 2 n 2 P(x) a (x x )...(x x )(x x )..(x x ) b Trong đó 2 2a 4a j iP(x ) a , i 1, m(x x ) . dt i 1 i 1 i 1 n i 1 ta phân tích j 1 2 Suy ra: Trường hợp 4: Q(x) là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2 m Ta phân tích: Thay lần lượt x bằng các giá trị i x vào đẳng thức trên ta tìm được i i m j Nguyễn Tất Thu Page 15 www.boxtailieu.net m ii 1 i 1 dx a . ln x x C x t h u .v .w u, v, w t 2i1 j 2 j i j j 1 j 1 .(u ') a .(v ') b u v u 2l .(w ') c w , a , b , c , c Chuyên đề: NGUYÊN HÀM m n n 1 0 m 1 0 a x ...a x a b x ... b x bx a b , i 1, n . l l l 1c w Sử dụng phương pháp hệ số bất định để xác định các hệ số 1i 2i 1 j a , 2 j 1l 2l b. Lưu ý: Hai đa thức n m i i b)dx cos(ax b) C b)dx sin(ax b) C 1 b) Csin (ax b) 1 b) Ccos (ax b) tan xdx ln cos x C cot xdx ln sin x C t mii a . Khi đó: Ix i b) Trong trường hợp tổng quát ta phân tích k Q(x) , trong đó là các nhị thức bậc nhất hoặccác tam thức bậc hai có biệt thức delta âm. k1i P(x) a b Biểu diễn: Q(x) u i i h1l . Sử dụng phép đổi biến số để chuyển tích phân hàm lượng giác về tích phân hữu tỉ. (8 sin x 2 cos 5x sin 3x)dx 4 2 2 8 sin x 2 1 cos 2x 2 4 cos 2x 2 cos 2x 3 4 cos 2x cos 4x và 2 cos 5x sin 3x sin 8x sin 2x .boxtailieu.ne Suy ra: 1 1 1 I 3x 2 sin 2x sin 4x cos 8x cos 2x C 4 8 2 . 5 8 cos 2x sin x dx Chuyên đề 3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác Nguyên hàm cơ bản 1 sin(axa 1cos(axa 2dxtan(axa 2dx cot(ax a . I . www Ví dụ 3.3.1. Tìm họ các nguyên hàm 4 Lời giải. Ta có: Ví dụ 3.3.2. Tìm họ các nguyên hàm 3 I . Lời giải. Nguyễn Tất Thu Page 16 www.boxtailieu.net 5 2 2 4 sin xdx 1 cos x d(cos x) 1 2 cos x cos x d(cos x) 8 cos 2x 2 cos 6x 3 cos 2x 8 cos 2xdx sin 6x 3sin 2x C ' 3 3 3 1 Ta có: 4 2 2 2 tan xdx tan x(tan x 1)dx (tan x 1)dx dx 2 1 3 5 cos x cos x cos x C " 3 5 . tan xd(tan x) d(tan x) dx tan x tan x x C ' 3 . Vậy1 2 1 3 5 I sin 6x 3sin 2x cos x cos x cos x C 3 3 5 . 3 tan x 2 tan x dx 3 2 tan xdx tan x(tan x 1)dx tan xdx tan xd(tan x) tan xdx tan x ln cos x C " 2 . Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 2 3 1 Ta có: Vậy1 1 3 2 I tan x tan x tan x ln cos x x C 2 3 2 . sin 2x sin x dx2 cos x 3sin x Ví dụ 3.3.3. Tìm họ các nguyên hàm 4 I . 2 sin x cos x.dx I2 sin x 3sin x 2 .boxtailieu.net Đặt t sin x dt cos xdx Lời giải. 2t dt 3t 2 I 1 dt 2t 3t 2 (t 2)(2t 1) 1 8 1 8 1 dt t ln 2t 1 ln t 2 C5(2t 1) 5(t 2) 10 5 1 8 sin x ln 2 sin x 1 ln sin x 2 C 10 5 . 1 2 . www Ví dụ 3.3.4. Tìm họ các nguyên hàm I 2 Lời giải. 2 Ta có: Suy ra : 2 2 2 Nguyễn Tất Thu Page 17 www.boxtailieu.net 2sin 4x dx4 sin x 3 cos x 1 4 (1 2t ) tdt 7 7 4 4 2 I (1 2t )dt t t Ct 49 49 3 2 sin 2x cos 2x I dx 4 sin x 3 cos x Đặt 2 2 2 3 1 t 4 sin x 3 cos x t 2(1 cos 2x) (1 cos 2x) 1 7 cos 2x2 2 2 2 1 4 2 cos 2x 1 2t 2 sin 2xdx tdt 7 7 3 4 2 2 2 2 2 4 sin x 3 cos x 4 sin x 3 cos C 49 3 2 3 . Chuyên đề: NGUYÊN HÀM cos x . Ví dụ 3.3.5. Tìm họ các nguyên hàm: I . 2 cos xdx I . Đặt t sin x dt cos xdx 1 sin x Lời giải. dt dt I Ta có: (1 t ) (1 t) (1 t) 1 1 1 2 1 1 t 1 tdt dt 4 4 (1 t)(1 t) (1 t) (1 t) (1 t) (1 t) Suy ra 2 2 2 2 Suy ra 1 1 1 1 1 dt www.boxtailieu.net 4 1 t 1 t (1 t) (1 t) 2 2 2 2 2 Do đó: 1 1 1 1 t ln C 4 t 1 t 1 1 t 2 2 1 1 1 1 sin x ln C 4 sin x 1 sin x 1 1 sin x . dx I Ví dụ 3.3.6. Tìm họ nguyên hàm:3 Lời giải. Ta có: 2 2 2 Nguyễn Tất Thu Page 18 www.boxtailieu.net t t t t (tan x 2) t tan x 2 . xdxcos 2x sin xdxsin x 2 cos x sin xdx tan xdx I cos x tan x 2 cos x tan x 2 dx t tan x 2 dt cos x 3 2 3 3 t 2 1 2 1 1 1 1I dt dt C C Suy ra 3 2 3 2 2 tan x 1 tan x dx 1 tan x cos 2x Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 1 tan x 1 tan x Ví dụ 3.3.7. Tìm họ nguyên hàm I . 3 t tan x dt 1 tan x dx nên 4 2 t dt t 1 1 1 1 1 1 I dt t 1 dt Lời giải. 1 t t 1 2 t 1 2 t 1 . x sin x dx x Ta có: 3 3 t 1 t 1 tan x 1 tan x 1 t ln C tan x ln C3 2 t 1 3 2 tan x 1 4 42 2 2 Đặt2 t u x du dx eu.ne Ví dụ 3.3.8. Tìm họ các nguyên hàm 4 tan I . sin xdx d(cos x) 1 1 dv v . dx cos x cos x cos x 2 ww.boxtaili 1 x 1 dx 1 1 I x 1 tan x tan x C2 2 2 2 cos x cos x . 2 Lời giải. Ta có . I 3 3 2 2 2 2 Đặt Suy ra 2 2 w Ví dụ 3.3.9. Tìm họ nguyên hàm I . 3 cos Lời giải. Đặt 2 Suy ra : Ví dụ 3.3.10. Tìm họ các nguyên hàm sau: Nguyễn Tất Thu Page 19 www.boxtailieu.net . x cos x dx x dx xd(sin x) x dx I cot xsin x sin x sin x sin x dx d(cos x) 1 1 cos x x ln C ln tan Csin x 2 1 cos x 2 cos x 1 Ta có:2 2 Do vậyx x I cot x ln tan C sin x 2 . cos x 8 sin x 9 dxcos x 2 sin x 3 Ta có: cos x 8 sin x 9 2 2 cos x sin x 3 cos x 2 sin x 3 Nên 2d(cos x 2 sin x 3) I 3 dx Chuyên đề: NGUYÊN HÀM cos x 2 sin x 3 1 I . 2 sin 2 ln cos x 2 sin x 3 3x C . 5 sin x 10 cos x 4 dx2 cos x sin x 1 Lời giải. Mặt khác: 2 5 sin x 10 cos x 4 a(2 cos x sin x 1) b( 2sinx cos x) c ( a 2b) sin x (2a b) cos x a c a 2b 5 I . net Ví dụ 3.3.11. Tìm họ nguyên hàm: . 2 sin x cos x 1 I 3 4 dx 2a b 10 a 3, b 4, c 1 a c 4 xtailieu. Lời giải. 2 cos x sin x 1 2 cos x sin x 1 3x 4 ln 2 cos x sin x 1 J . w.bo Ví dụ 3.3.12. Tìm họ các nguyên hàm I Lời giải. Ta phân tích: ww Nguyễn Tất Thu Page 20 www.boxtailieu.net Tìm dx J2 cos x sin x 1 ? 2t 1 t sin x , cos x x 2dt t tan dx 1 t 1 t 2 1 t t 2t 3 2 cos x sin x 1 1 t 2 2 Do đó:2dt 1 (t 3) (t 1) J 2 dt 2 (t 1)(t 3) t 2t 3 tan 3 1 t 3 1 2 ln C ln C 2 t 1 2 x tan 1 tan 3 1 2 I 3x 4 ln 2 cos x sin x 1 ln C tan 1 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM R(sin x, cos x)dx 2dt tan dx t 2 1 tsin x , cos x t 1 t 2 Đặt2 và 2 Suy ra : 2 x . eu.net Vậy 2 x . 2 x 2 a sin x b cos x c I dx a sin x b cos x c dx Ia sin x b cos x c a) 1 1 1 2 2 2 t tan2 . a sin x b cos x 2 2 2 I dx 1 1 2 2 2 2 a sin x b cos x A(a sin x b cos x) B(a cos x b sin x) www.boxtailia sin x b cos x TỔNG HỢP Bài toán 1: Tìm nguyên hàm I . TH 2: 1 1 2 2 Tổng quát: Để tìm nguyên hàm dạng trên ta thực hiện phép đổi biến số2xt21và 2 2t . 2 1 Thay vào ta được một nguyên hàm của hàm số hữu tỉ. Trong một số trường hợp riêng ta có một số phương pháp giải khác TH 1: Ta thực hiện phép đổi biếnx Ta phân tích: Nguyễn Tất Thu Page 21 www.boxtailieu.net A, B 2 1 2 1 A b B ab A a B b 2 Ax B ln a sin x b cos x C 1 1 2 2 sin x b cos x c dx sin x b cos x c 1 1 2 2 2 sin x b cos x c A(a sin x b cos x c ) cos x b sin x) C Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Ac C c . Khi đó: Aa Bb a Ab Ba b 2 2 B(a . 2 2 1 dx I Ax B ln a sin x b cos x c Ca sin x b cos x c . 2 2 1 2 1 Nếu R( sin x, cos x) R(sin x, cos x) ta đặt t cos x 2 2 22 2 2 Nếu R(sin x, cos x) R(sin x, cos x) ta đặt t sin x Nếu R( sin x, cos x) R(sin x, cos x) R(sin x, cos x) ta có thể sử dụng công thức hạ bậc hoặc đặt a Với thỏa: 2 . t tan x ( hoặc t cot x ). 2 Khi đó: 2 I . Bài toán 2: Tìm họ nguyên hàm I f (tan x)dx (hoặc I f (cot x)dx ). Ia a Để tìm nguyên hàm dạng này ta có thể đặt t tan x (t cot x ) và chuyển về bài toán tìm nguyên TH 3: 1 2 f (t)dt I Ta phân tích: 1 a 1 t (3sin x tan x)dx x 2 sin x dx cos 2x (2 sin x.cos 4x 4 sin 3x)dx cos 2xdx 2 tan x sin xdx tan xdxwww.boxtailieu.net b) Một số trường hợp đổi biến . hàm:2 7) 5 sin x 2 sin 2x I dx tan x I dx 8) 3 cos 2x 6 cos x 5 cos x . 5) 2 2 I 6) 3 3.3. Bài tập. Bài 3.3.1. Tìm họ các nguyên hàm sau 2) 2 1I1 1 1) 2 I 2 sin 3) 3 I 4) 4 I I Nguyễn Tất Thu Page 22 www.boxtailieu.net cos xdx I(sin x 2 cos x) tan x I dx cos 2x sin 2xdx Ix 6 sin sin x 12) dx Icos x.sin(x ) 6 cos x 14) 2dx I2 sin x 3sin 2x 2 2 2 sin 2x 3 cos x I dx sin x sin x I cot x.dx 1 1 2 sin x sin x 2 4 sin 3x sin 4x I dx 18)4 3 sin 2x.cos xI dxtan(x ) tan(x ) 4 4 tan x cot 2x 20) I tan x tan(x )dx4 19) dx I2 cos x 1 I (x 5) sin xdx 22) 2 I (x 2x 3) cos xdx cos x 1 I dx 20) 3sin x 4 cos x I dx2 sin x cos x x 1 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM sin xdx I 10)4 9) 3 ( 3 cos x sin x) 11) cos x sin x . 22) 4 5 3 2 I (3sin x 1 tan x 1)dx dx I sin x 13) 3 3 cos x cot x tan x x C . 3 3 1 1 x sin 2x tan x C2 2 . 16) 15) 3 I 1 cos 2x dx 3 2 cos x 3) Ta có: 2 sin x cos 4x sin 5x sin 3x và 3 4 sin 3x 3sin 3x sin 9x 17) www.boxtailieu.net Nên 1 2 1 I sin 5x 2 sin 3x sin 9x dx cos 5x cos 3x cos 9x C5 3 9 4) Ta có: 4 2 1 1 2 cos 2x 1 cos 4x 1 2 cos 4x cos 4x 4 4 21) 2 1 1 cos 8x 1 1 2 cos 4x 3 4 cos 4x cos 8x 3 4 2 8 23) 3 dx I 21) 2 Hướng dẫn giải Bài 3.3.1. 1 1) Ta có: 2 2 1 2) Ta có: 2 Nguyễn Tất Thu Page 23 www.boxtailieu.net 2 4 1 1 1 I (3 4 cos 4x cos 8x)dx 3x sin 4x sin 8x C8 8 8 . cos x cos x 2 2 2 2 2 2 2 tan x sin x 2 tan x 1 cos x 2 tan x 2 cos x dx 1 tan x 2x cos 2xd 2x I cos x 2 dx cos x 3 1 tan x x sin 2x C 2 4 . 1 1 21 1 1 A tan xdx tdt t C tan x Ccos x 2 2 I tan xdx tan x. tan xdx tan x 1 dx cos x 1 1 tan xdx tan xdx tan xdx tan xdx 6) 3 221 1 A tan xdx cos x 2 2 t tan x dt dx cos x Chuyên đề: NGUYÊN HÀM sin x sin x.dx B tan xdx dx cos x cos x 2 2 Đặt a cos x da sin xdx 5) Ta có: sin x.dx da B ln a C ln cos x Ccos x a 1 2 2 I A B tan x ln cos x C 2 . cos x cos x 1 4 cos x 5 sin x.dx 2 2 . Đặt t cos x dt sin xdx I2 cos x 3 cos x 2 4t 5 3 t 1 t 2 I dt dt t 3t 2 t 1 t 2 www.boxtailieu.net 3 1 dt 3 ln t 2 ln t 1 Ct 2 t 1 3 ln cos x 2 ln cos x 1 C . 2 tan x sin x I dx dx Đặt21 Đặt t cos x dt sin xdx sin xdx dt dt 1 1 I C C . t 3.t 3.cos x 8) Ta có: 3 4 4 3 3 Vậy1 2 7) Ta có: 2 Khi đó 2 Nguyễn Tất Thu Page 24 www.boxtailieu.net dx t tan x dt cos x(tan x 2) cos x dt 1 1 I C C (t 2) 2(t 2) 2(tan x 2) 9) Ta có :2 3 1 tan x cos 2x tan x(1 tan x)dx I 1 tan x 1 tan x 3 2 2 t tan x dt (1 tan x)dx 4 2 t 1 I dt ( t 1 )dt 1 t (1 t)(1 t) 2 1 1 1 t 1 dt 2 1 t 1 t . 3 3 t 1 1 t tan x 1 1 tan x t ln C tan x ln C3 2 1 t 3 2 1 tan x 11) 2sin x cos xdx I 2cos x 3 cos x 2 . Đặt t cos x . Chuyên đề: NGUYÊN HÀM ĐS: I 2 ln cos x 1 4 ln cos x 2 C . dx I dx 2 I 2 ln 3 tan x 1 C . Đặt2 cos x 3 tan x 1 3 cos xdx I . . Đặt t sin x dt cos xdx 1 sin x 2 4 (1 t) (1 t) 1 t dt 1 (1 t) (1 t) I dt 10) Ta có : 2 2 Đặt 2 1 1 2 1 dt 42 4 (1 t)(1 t) (1 t) (t 1) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 dt www.boxtailieu.net 4 1 t 1 t (1 t) (t 1) 1 1 t 1 1 1 1 sin x 1 1 ln C ln C4 t 1 t 1 t 1 4 sin x 1 sin x 1 sin x 1 2 2 . 1 dx I2 2 sin x 3sin x cos x cos x 2 2 1 dx 2 cos x(2 tan x 3 tan x 1) 14) Ta có: 2 2 . 12) 2 13) Ta có: 2 2 2 2 2 . Nguyễn Tất Thu Page 25 www.boxtailieu.net dt t tan x dx 1 t 1 dt 1 (2t 1) 2(t 1) I dt 2 2 (2t 1)(t 1) 2t 3t 1 1 1 2 1 t 1 dt ln C 1 tan x 1 ln C2 2 tan x 1 . 2 t 1 2t 1 2 2t 1 (2 sin x 3) cos xdx I 1 1 2 sin x 3 (t 1) 1 t 1 1 2 sin x sin x2 cos xdx (t 1) dt 2 [(t 1) 2] (t 1) dt 2 3 (t 2t 3)(t 2t 1)dt It 2 t 3 3 3 2 (t 4t 8t 8 )dt 2 t 2 2 2 2 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 4 3 3 t 4t 2 4t 8t 3 ln| t| C Đặt2 2 4 3 8 t 1 1 2 sin x . Ta được:2 1 1 I 1 .cot x. dx sin x sin x cot x.cot x. dx sin x 15) Ta có: 3 16) Ta có: 32 2 dx t cot x dt 3 Đặt sin x www.boxtailieu.net I t .tdt t dt t C 3 2 8 . cot x. cot x C 3 5 8 3 2 3 3 3 2 4 sin 3x sin 4x 2(1 cos 6x) sin 4x tan x cot 2x sin x cos 2x 3 2 2 3 cos x sin 2x với 3 1 3 2 2 Đặt2 Ta được: 17) Ta có: Nguyễn Tất Thu Page 26 www.boxtailieu.net sin 4x 2 cos 6x 2 sin 2x sin 6x sin 2x 2 cos 6x.sin 2x 2 sin 2x 4 2 3 4 6 4 2 I 16 t (1 t ) dt 16 t (t 3t 3t 1)dt 1 1 cos 4x cos 8x sin 8x sin 4x 2 sin 2x 2 2 Do đó: 1 1 1 1 I sin 4x sin 8x cos 8x cos 4x cos 2x C8 16 8 4 . 18) Ta có: tan x 1 tan x 1 tan(x ). tan(x ) . 1 4 4 1 tan x 1 tan x Suy ra: 4 6 I 16 sin x.cos x cos xdx Đặt t sin x dt sin xdx nên ta có: 11 9 7 5 t t 3t t 16 C 11 3 7 5 11 9 7 5 sin x sin x 3sin x sin x 16 C 11 3 7 5 . x 2dt t tan dx Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 2 1 t x 1 3 tan dt 1 1 3t 1 2 I 2 ln C ln C 3 1 3t 3 x 1 3t 1 3 tan2 dt t tan x dx 1 t 1 t (1 t)(1 t ) t 1 t(1 t) 1 1 I dt dt I x ln(1 tan x) C . sin(x )dx 1 sin xdx 3 1 dx 6 I4 8 8 cos (x ) cos (x ) cos(x ) 6 6 6 2 2 www.boxtailieu.net 1 sin(x ) 3 1 1 6 ln C 8 16 cos(x ) 1 sin(x ) 6 6 . 2 2 2 3 4dx I 4. tan x C . cos x tan x 19) Đặt2 . 2 20) Đặt2 21) Ta có: 22) Ta có 4 Nguyễn Tất Thu Page 27 www.boxtailieu.net u P(x) ax b I P(x)e dx . Đặt ax b dv e dx ax b I f (e )dx . Đặt ax b dt t e a dx f (x) I e g(x)dx . Đặt t f (x) I P(x) ln f (x) dx . Đặt u ln f (x) dv P(x)dx f (ln(ax b)) I dx . Đặt t ln ax b ax b 4.2. Các ví dụ minh hoạ xe dx 2x (x 1)e dx du dx u x Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 1 dv e dx v e Suy ra : 2x 2x 2x 2x 2x 1 1 1 1 xe dx xe e dx xe e C2 2 2 4 Chuyên đề 4. Nguyên hàm của hàm mũ và logarit Suy ra 1 1 1 1 2x 2x 2x 2x I xe e dx xe e C 2 2 2 4 . 4.1. Phương pháp 4.1.1. Nguyên hàm của hàm mũ du 2xdx u x 11 dv e dx v e dx Suy ra 1 2 2x 2x I (x 1)e xe dx 2 t du dx u x 4.1.2. Nguyên hàm của hàm số logarit 1 dv e dx v e Vậy1 1 1 2 2x 2x 2x I (x 1)e xe e C et 2 2 4 . x dx 2e 3 x e e 1dx 1 dxx 1 xe 1) 2x I 2) 2I. u.n Ví dụ 3.4.1. Tìm họ các nguyên hàm sau Lời giải. www.boxtailie 1) Đặt 2x 2x e .e dx I 2 e 3e 2 x x 2 2) Đặt 2 2x 2x 2x x Đặt 2x 2x 2 Ví dụ 3.4.2. Tìm họ các nguyên hàm x e I 2) 2x I 3) xxI. 1) e x Lời giải. 1) Ta có: Nguyễn Tất Thu Page 28 www.boxtailieu.net Suy ra 2 4 2 I (t 1)t.2tdt 2 (t t )dt Đặt x x t e dt e dx Suy ra : 2tdt 2 1 I dt 2 ln t 2 ln t 1 Ct 3t 2 t 2 t 1 x x 2 ln e 2 ln e 1 C . 2) Đặt x x 2 x t e 1 e t 1 e dx 2tdt 5 3 2 2 2 2 5 3 x x t t C e 1 e 1 C . 5 3 5 3 x x t 1 xe dt e 1 x dx x x x x 1 dt x 1 e t t 1I dx dx dt t 1 t t 1 t x 1 xe xe 1 xe 1 1 dt t 1 xe ln C ln C t 1 t t 1 xe Chuyên đề: NGUYÊN HÀM . tan x dx x x e dx dx I e 1 tan x cos x dx t tan x dt cos x tan x 2 u 1 t du 2tdt Suy ra 2 t I (1 t )e dt . Đặt2 dv e dt v e Ta có: 2 t t 2 t t t I (1 t )e 2 te dt (1 t )e 2te 2e C 2 tan x tan x tan x 1 tan x e 2 tan xe 2e C . 3) Đặt t x x t dx 2tdt x u.net Suy ra : Suy ra 2t 2t 2t 2 x 2 x 1 1 I 2 te dt te e C x.e e C2 2 . (3x 1) ln(x 1)dx 2 x ln xdx xx 2) 2 I. tailie Ví dụ 3.4.3. Tìm họ nguyên hàm sau e 1) I 4 cos Lời giải. www.box 1) Ta có: 2 Đặt2 t t 2) Đặt 2 Ví dụ 3.4.4. Tìm họ nguyên hàm 1) 2 I 2) 3I Lời giải. Nguyễn Tất Thu Page 29 www.boxtailieu.net 3 3 2 x x 2I x x ln(x 1) dx x x ln(x 1) x x 2 dxx 1 x 1 dx u ln(x 1) dux 1 dv (3x 1)dxv x x 3 x x x x ln(x 1) 2x 2 ln x 1 C 3 2 . Suy ra 3 4 3 4 4 1 1 1 1 x ln xdx x ln x x dx x ln x x C4 4 4 16 2 du ln xdx u ln x x 3 2 dv x dx 1 v x Suy ra 1 1 4 2 3 I x ln x x ln xdx 4 2 dx du u ln x x dv x 1 v x Vậy1 1 1 4 2 4 4 I x ln x x ln x x C 4 8 32 . ln(x 1) dx Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 1) Đặt 23 3 Suy ra u 1 ln(x 1) du dx x 1 dx dv 1 t t t t (ln x 2) t ln x 2 . Suy ra 1 ln(x 1) dx 1 ln(x 1) x I ln Cx x(x 1) x x 1 . ln x dxx(ln x 2) x ln x dxln x x 1 2 2) Đặt 3 4 4 ailieu.net Đặt 34 1) Đặt dx t ln x 2 dtx 4 t 2 1 2 1 1 1 1I dt dt C C . oxt Ví dụ 3.4.5. Tìm họ nguyên hàm 1 I 2 x Suy ra : 3 2 3 2 2 Lời giải. Đặt www.b 1 v xx 2 Ví dụ 3.4.6. Tìm họ nguyên hàm 2) 23lnI1) 3 I Lời giải. Nguyễn Tất Thu Page 30 www.boxtailieu.net ln x ln x 1 . x x I dx ln x 1 1x ln x 1 ln x ln x t dt dx dx dt x x x tdt 1 1 I dt (1 t) (t 1) (1 t) 1 1 x x C Ct 1 ln x 1 x 2(t 1) 2(ln x x 1) Đặt2 2 . Suy ra 3 2 3 3 4.5 I dx I dx 2 2 2) x x dx Ie 2e 3 e 4 I dx 1 e 2 6) ln x.dxIx(1 3 ln x 2) ln x 1 I dx x x 4e 1 ln x 2 ln x I dx ln (ln x) I dx x ln x x9) I (2x 1)e dx Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 10) I (2x 1) ln(x 2)dx 11) 2 I (2x 1) ln xdx 12) 2 xI (x x 1)e dx 2) Ta có:23 . I ln(x x 1)dx 14) I sin x. ln(cos x)dx 15) x 1I x ln dxx 1. xx e 2 ln Ce 1 . x x x x 3 5 1 3 4 5 I 4. dx . . C 7 7 7 7 3 5 ln ln 7 7 2 e dx I e 3e 2 4.3. Bài tập. Bài 3.4.1.Tìm họ các nguyên hàm sau www.boxtailieu.net Đặt x x t e dt e dx 3)2xx e 1) Suy ra: 2dt dt t 2 I ln C x 7 2x x t 3t 2 (t 1)(t 2) t 1 x 5)2 4) 3) Đặt x x 2 x t e 2 e t 2 e dx 2tdt x x 1 t t 1 (t 2)2tdt 1 2 3 2 8)2 I 2 t t 1 dt 7) x 13) 2 Hướng dẫn giải 1) Ta có: 2) Ta có: x 2 Nguyễn Tất Thu Page 31 www.boxtailieu.net 3 2 t t 2 t ln| t 1| C 3 2 x 3 x (e 2) e 2 x x 2 e 2 ln| e 2 1| C 3 2 . e 4 t 4 30t t e e dx dt 2 230t dx dt(t 4)(4t 1) 4e 1 4t 1 (4t 1) t dt 1 4 I 30 2 dt x 2 (t 4)(4t 1) t 4 4t 1 x x x 2 2 2 với xx e 4 t4e 1 2 t 2 2t 1 1 t 2 2t 1 ln ln C 2 2 2 2 5) Đặt dx t ln x dtx 2 t ln x I (t 1)dt t C ln x C 3 3 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM t 2 dx 2 t 3 ln x 2 ln x tdt 3 3 3 x 3 t 2 2. tdt 3 3 2 1 I (t t 1 )dt 1 t 9 t 1 3 2 2 t t t ln(t 1) C , với t 3 ln x 2 . 9 3 2 4) Đặt 7) Đặt 3 2 2 3 2 ln xdx 3 t ln x 2 ln x t 2 t dt x 2 2 Suy ra Suy ra 3 3 3 3 4 4 3 I t dt t C . (3 ln x 2) C 2 8 8 www.boxtailieu.net . 8) Đặt dx t ln(ln x) dt x ln x Suy ra 2 3 3 1 1 I t dt t C ln (ln x) C 3 3 . 9) Đặt x x u 2x 1 du 2dx . Suy ra . dv e dx v e x x x I (2x 1)e 2 e dx (2x 3)e C . 2 6) Đặt 2 Suy ra 2 Nguyễn Tất Thu Page 32 www.boxtailieu.net u ln(x 1) dux 1 dv (2x 1)dxv x x 2 2 2 x x 1 I (x x) ln(x 1) dx (x x) ln(x 1) x Cx 1 2 (x 1) ln xdx (x 2x) ln x (x 2)dx 2 2 ln x u ln x du 2 dx dv (2x 1)dxv x x 2 2 I (x x) ln x 2 (x 1) ln xdx dx du u ln x x dv x 1 dx 1 v x x 1 1 2 2 1 x 2 Suy ra x x x x (2x 1)e dx (2x 1)e 2 e dx (2x 1)e (x 2x) ln x x 2 4 2 . I (x x) ln x (x 2x) ln x 2x C Chuyên đề: NGUYÊN HÀM u x x 1 du (2x 1)dx dx dv e dx v e 10) Đặt 2 2 2 x 2 Suy ra 2 x x I (x x 1)e (2x 1)e dx 2 u 2x 1 du 2dx . dv e dx v e 11) Đặt2 x 2 x x 2 x I (x x 1)e (2x 1)e C (x x 2)e C . Đặt 1 1 2 x x 1 1 13) Đặt22dx du u ln(x x 1) x 1 dv dxv x 1 1 Đặt : www.boxtailieu.net xdx I x ln(x x 1) 1 2 1 x 1 2 2 2 x ln(x x 1) x 1 C . sin x du dx 14) Đặt u ln(cos x) cos x dv sin xdx v cos x 2 Suy ra I cos x ln(cos x) sin xdx cos x ln(cos x) cos x C . 2 12) Đặt x x 2 2 ta chọn Nguyễn Tất Thu Page 33 www.boxtailieu.net x 1 du dx u ln (x 1) x 11 dv xdx v x 1 x 1 x I x ln dx 2 x 1 (x 1) 2 x 1 x 1 (x 1) 1 x 1 2 1 x ln 1 dx 1 x 1 1 2x ln x 2 ln| x 1| C 2 x 1 x 1 . 2 6 4 2 7 5 3 2 4 2 I t 1 .t.2tdt 2 t 2t t dt t t t C7 5 3 Lưu ý nguyên hàm cơ bản:dx 2 ax b C ax b a Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 2 15) Đặt2 5.2. Các ví dụ minh hoạ x x 1dx 2 2 t x 1 x t 1 dx 2tdt 2 2 Suy ra 2 2 4 2 7 5 3 (x 1) (x 1) (x 1) C 2 7 5 3 . 2x 1 2 ailieu.net Đặt 33 1 3 2 t 1 2x 1 2x 1 t 1 x t 3t 3t 2 2 3 2 dx t 2t 1 dt 2 Chuyên đề 5. Nguyên hàm của hàm số vô tỉ 2 2 3 t 2t 1 3 1 3 t I dt t 2 dt 2t ln t C2 t 2 t 2 2 5.1. Phương pháp giải Sử dụng các phép đổi biến số và từng phần để chuyển về tích phân hàm hữu tỉ. . 3 3 3 3 3 3 1 2x 1 3 1 2x 1 ln 1 2x 1 C4 2 . I . oxt Ví dụ 3.5.1. Tìm họ nguyên hàm 2 Lời giải. www.b Đặt 2 2 Suy ra Ví dụ 3.5.2. Tìm họ nguyên hàm xdx I . 3 1 Do đó Nên Ví dụ 3.5.3. Tìm họ nguyên hàm Nguyễn Tất Thu Page 34 www.boxtailieu.net . x 9 4 x . 1 x dx I x . 1 x .x dx . Đặt 4 4 4 4 3 3 t 1 x x t 1 x dx t dt 9 5 9 54 3 8 4 4 4t t 1 14 4 I (t 1)t.t dt (t t )dt C 1 x 1 x C9 5 9 5 (t 9)t (t 3)(t 3) 6 t 3 6 x 9 3 . ln x dxx ln x 1 x ln x 1 Ta có: 4 4 3 4 x x 9 . Đặt 2 2 2 t x 9 x t 9 xdx tdt tdt dt 1 t 3 1 x 9 3I ln C ln C 2 2 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 7 4 I . Lời giải. t x ln x 1 x ln x t 1 (1 ln x)dx 2tdt 2tdt tdt I 2 (t 1)(1 t) (t 1) (t 1) Ta phân tích 2 2t a(t 1) b(t 1) c(t 1)(t 1) Suy ra Cho t 0, t 1, t 1 ta tìm được:1 3 a , b 1, c 2 2 . Ví dụ 3.5.4. Tìm họ nguyên hàm dx I . 2 x Suy ra 2 2 1 1 3 I dt 2(t 1) 2(t 1) (t 1) 1 1 3 ln t 1 ln t 1 C Lời giải. 2 t 1 2 xdx I ieu.net Ta có: . 1 1 3 ln x ln x 1 1 ln x ln x 1 1 C2 2 x ln x 1 1 . 1) dx 1)2 Suy ra 2 2 . xtail Ví dụ 3.5.5. Tìm họ nguyên hàm 1 I Lời giải. www.bo Đặt 2 Suy ra 2 Ví dụ 3.5.6. Tìm họ nguyên hàm 2009 (x I . 2013 (2x Lời giải. Nguyễn Tất Thu Page 35 www.boxtailieu.net 2009 2 2 1 1 2 I t dt t dt t C3 3 3.2011 x 1 1 I . dx 2x 1 (2x 1) x 1 3dx 1 dx t dt dt 2x 1 3 (2x 1) (2x 1) Đặt2 2 2011 2 x 1 C 6033 2x 1 . 1 2009 2011 x t dx dt t x x 1 dt 1 dx dxt x 1 x 1 x 1 I ln t C ln x x 1 C . x 1 dx ln x x 1 C 2 2 2 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 2009 Ta có 2 . 1) x 2x 2 2 2 2 t t x x 2x 2 t 2tx 2x 2 x2(t 1) Suy ra t 2t 2 dx dt 2 2 2 t 2t 2 t t 2t 22 x 1 , x 2x 2 t 2(t 1) 2t 2 2(t 1) 2(t 1) t 2t . 2(t 1) I dt ln t 2t C ln x 2x 2 x 2 x 2x 2 x C Ví dụ 3.5.7. Tìm họ nguyên hàm dx I . 2 x ailieu.net dx dx I1 (x 1) (x 1) 1 (x 1) x 1 1 (x 1) Lời giải. 2 2 2 Đặt 2 tx 1 thì ta đưa về ví dụ 3.5.7. x 1dx Suy ra dt 2 t Chú ý: Tương tự vậy ta cũng có: 2 2 . oxt Ví dụ 3.5.8. Tìm họ nguyên hàm dx I 2 (x Lời giải. Đặt www.b 2 2 , 2 2 Suy ra 2 Chú ý: Ta có thể tìm nguyên hàm trên bằng cách khác như sau Ta có: 2 2 Đến đây nếu đặt1 Ví dụ 3.5.9. Tìm họ nguyên hàm: 2 I . Nguyễn Tất Thu Page 36 www.boxtailieu.net 1 1 1 1 t x x 1 x t dx 1 dt 2 1 1x 1 t 2 t 2 t 4 t và2 1 1 1 1 1 2 1 I t 1 dt t dt 2 t 2 4 t t t 1 t 1 2 ln t C 4 2 2t 2 2 1 2 2 2 x x 1 4 ln x x 1 x 1 x C8 Suy ra 2 3 . dx 1 1 1 1 1 t x x 1 x t dx 1 dt 2 t 2 t 1 1 1 1 x t 2 , x 1 t 4 4 t t Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Lời giải. 1 1 1 1 t 2 1 4 2 t t k 1 2 k 1 1I k dt t dt t 2 ln t C1 1 4 t 4 2 t 2t t 2 2 2 Đặt 22 2 t 2 2 k 2 2 2 x x 1 x x 1 4 ln x x 1 C8 2 2 2 . 2 3 2 t 0 . f (x, ax b)dx ax b I g (t)dt (t) b f x, dx d b I g (t)dt d (t) và k 1 nếu1 t 0 Trong đó k 1 nếu1 2 Ví dụ 3.5.10. Tìm họ nguyên hàm 2 . t x I 2 x Lời giải. www.boxtailieu.ne Đặt 22 2 Và Suy ra 2 2 t t I R(x, ax bx c)dx . TỔNG HỢP a) Nguyên hàm n I Với dạng này ta đặt n1 t , với 1g là hàm hữu tỉ theo t. b) Nguyên hàm n ax Icx ax t cx , với 2 g là hàm hữu tỉ theo t. Với dạng này ta đặt n2 c) Nguyên hàm 2 Nguyễn Tất Thu Page 37 www.boxtailieu.net 0 c ax ax bx c x 2 at 0 2 2 bx c k a (x ) a 0, k k sin t Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nếu c 0 ta có thể thực hiện phép đổi biến số: tx c ax bx c và chuyển về nguyên hàm hàm hữu tỉ. * Với nguyên hàm có dạng 2 2 I R(x, x a )dx ta có thể sử dụng phép đổi biến x a tan t. dx 2x 1 1 x x 4dx dx 3 (x 1) 3 2xdx 1 dx x 1 1 dx 2 1 dx 2 2u.net 2 2 t tb và chuyển về nguyên hàm của hàm số hữu tỉ. Nếu a ta đặt b Nếu a thì ta viết 211 ax 2a a4a (với điều kiện 0 ) Trong đó: 11 b x2a a và chuyển về nguyên hàm của hàm số lượng giác. Đặt 1 1 2 Chú ý: (x 3) I dx 11) xdx Ix 3 5x 3 12)2dxIx 1 x 3x 2 (2x 1) 13) I x x 1dx 14)x x x 1 I dx 15) 2 2I x . x 9dx 1 x x 18) 2I x 2x 4.dx x 4 1 x x 1 5.3. Bài tập www.boxtailie Bài 3.5.1. Tìm họ các nguyên hàm sau 2) 3xdx I2x 1) x 3) 2I I1 3 x I 6) 2xI2 5) 3 4) I 2 x 9) 3xdxI2x 8) x Ix x I 7) 2 x 2009 10) 2013 dx I dx I 17)2 16) 2 Hướng dẫn giải Bài 3.5.1. Nguyễn Tất Thu Page 38 www.boxtailieu.net I (t 3t 2)dt t C2 t 2 6 4 2 t 2t t 1 2x 1 2x 1 (t 1) x 2 4 t 4 20 8 dx (t 1)dt . 2 3 2 1 (t 2t)(t 1)dt 1 t 3t 2 3 2 (1 2x 1) 3(1 2x 1) (1 2x 1) C . 6 4 3 t 1 3t t 2x 1 x dx dt 2 2 3 2 3 (t 1)t 3 3 3 4 5 2 I dt (t t)dt t t C 3 2 3 3 5 2 3 (2x 1) 3 (2x 1) C . 20 8 3) Đặt 2 2 2 t x 4 x t 4 xdx tdt 2 t (x 4) I t dt C C 3 3 . Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 2 4) Đặt 2 2 2 t x 3 x t 3 xdx tdt 1) Đặt 3 2 3 t 3 tdt x .xdx t I (t 3)dt 3t C t 3 x 3 2 3 (x 3) 2 3 x 3 C . 2 3 3 3 t 3 2 t 3 2x x dx t dt 2) Đặt 2 2 3 3 3 t 3 2 3 6 I 1 t.t dt (5t t )dt 2 2 4 www.boxtailieu.net 4 7 7 4 3 3 3 5t t 3 (3 2x) 5 (3 2x) C C 4 4 7 4 7 4 . 6) Đặt 2 2 t 2 x 1 x (t 2) 1 t 4t 5 dx (2t 4)dt. 2 2 2 3 3 5) Đặt Nguyễn Tất Thu Page 39 www.boxtailieu.net 2 2t 8t 11 (2t 4)dt 22 I 2 (2t 12t 27 )dt t t 3 2t 2 2 6t 27t 22 ln| t| C với t 2 x 1 . t 2 1 t 2 t x x 2 x dx dt 2t 2 t 2 t 2 t 2 x 2 t2t 2t . 2 2 t 2 1 t 2 ( 1) . 2t 2 t 1 t 2t 2 I dt dt 2 2 t 2 t 2 2 2 1 2 2 1 2 1 dt t 2 ln| t| C 2 t 2 t t 2 2 2 2 x 2 2 ln x x 2 C . Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 2 x 1 2t 1 6t t x dx dt Suy ra: x 2 1 t (t 1) 6t 1 1 I dt 6 dt (t 1) t 1 (t 1) 3 2 2 2 Mà: 21 1 (t 1) (t 1) 1 1 1 7) Đặt 2 t 1 2 (t 1)(t 1) 2 t 1 t 1 2 2 2 2 2 2 (t 1) (t 1) (t 1) 4 1 1 (t 1) (t 1) Và 1 1 1 1 1 www.boxtailieu.net 2 2 4 t 1 t 1 (t 1) (t 1) Suy ra: 2 2 2 2 Suy ra: 2dt 1 t 1 ln 2t t 1 2 t 1 2 2 dt 1 t 1 1 1 ln 2 . (t 1) 4 t 1 t 1 t 1 với x 1 tx 2 3 t 1 3t I ln C 2 t 1 t 1 2 8) Đặt 2 2 2 2 ; . Vậy: 2 Nguyễn Tất Thu Page 40 www.boxtailieu.net 3 t 2 3 2 t 2x 2 x dx t dt 2 2 t 2 3 t dt t 4 4 5 2 2 3 3 t I (t 2t)dt t C 3 5 3 (2x 2) 3 2 (2x 2) C 4 2 4 5 . x 3 1 I dx 2x 1 (2x 1) x 3 x 3 2 1 t t tdt dx 2x 1 2x 1 7 (2x 1) 2011 2 2 2 x 3 2010 2011 I t dt t C7 1407 1407 2x 1 11) Ta có: x( 5x 3 x 3)dx 1 I ( 5x 3 x 3)dx 5x 3 x 3 4 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 6 5 3 9) Đặt 1 1 3 3 (5x 3) (x 3) C . 325 12) Đặt 2 2 2 t x x 3x 2 (t x) x 3x 2 Suy ra dx dt 2t 3 t 2 x 3x 2 x2t 3 t 2t 5 x 12t 3 1 t 1 6 ln C 2 6 t 1 6 2009 10) Đặt Suy ra 2dt It 2t 5 2 www.boxtailieu.net 1 x 1 6 x 3x 2 ln C Đặt 22 2 6 x 1 6 x 3x 2 . hay dx 2 x 1dt 2tdt . t x 1 dt dx Suy ra 2 x 1 2 4 2 t t I t 1 t.2tdt 2 t t dt 2 C5 3 5 3 2 2 2 2 2 13) Đặt1 Khi đó Nguyễn Tất Thu Page 41 www.boxtailieu.net x 1 1 2 x 1 x 1 C 5 3 . 14) Ta có 2 21 2x x x 1 x x x xI dx dx dx dx J J1 x x 1 x x 1 x x 1 x x Đặt t 1 x x , 2 t 1 x x x t 1 x dx t t 1 dt 4 4 4 4 4 J t 1 dt t t C 1 x x 1 x x C3 9 3 9 3 2 3 2 2 2 4 d 1 x x x 2 4 J dx 1 x x C 3 3 1 x x 1 x x 2 3 1 1 1 3 4 4 4 I 1 x x 1 x x 1 x x C . 9 3 3 2 2 t 9 t 9 x 9 x t x dx dt t 9 t 81 t 9 t 9 1 I . dt dt 2 2 2t 4t t 2t 16 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 1 162 6561 1 t 6561 t dt 162 ln t C16 t 16 4 t 4t 2 2 2 4 2 2 2 2 2 5 x x 9 1 6561 162 ln x x 9 C16 44 x x 9 5 4 . 3 x x x 4 t x x 4 dt 1 dx dx 3 x 4 x 4 dx dt dt I ln t C ln(x x 4) C t t x 4 www.boxtailieu.net 2 2 17) Đặt 2 2 2 2 2 t x x 1 t x x 1 t 2xt x x 1 Vậy, 1 t 1 I dt t 1 t 1 x dx dt 2 2 15) Đặt 2 t (1 t) 2t 2t 2 t 1 2 1 1 I 2 ln| t 1| ln| t| Ct 2 2 t 1 t t (t 1) t 4 3 2 2 4 2 2 4 2 16) Đặt 2 2 2 . 2 2t 2t 2 2 2 Ta có : 1 Nguyễn Tất Thu Page 42 www.boxtailieu.net Hay 2 2 2 I 2 ln 1 x x 1 x x 1 ln x x 1 C . 18) Đặt 2 2 2 t x x 2x 4 (t x) x 2x 4 t 4 t 2t 4 2x(t 1) t 4 x dx dt 2(t 1) 2(t 1) 2 t 4 t 2t 4 x 2x 4 t x t2(t 1) 2(t 1) 2 2 (t 1) 3 1 (t 2t 4) 1 I dt dt 2 2 4 4 (t 1) (t 1) 1 6 9 1 t 9 t 1 dt t 6 ln| t 1| C4 t 1 4 2 (t 1) 2(t 1) 2 2 3 3 t x x 2x 4 . 3 2 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 2 2 Và 2 2 www.boxtailieu.net 2 Với 2 Nguyễn Tất Thu Page 43 www.boxtailieu.net