- Tên Ebook: Chuyen de luyen thi dai hoc mon Toan
- Loại file: PDF
- Dung lượng: 1 MB
- Số trang:
LINH TẢI:
TRÍCH DẪN:
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2015 1 KHÓA 12 THÁNG THÁNG 3 BÀI TOÁN THAM SỐ (TT) KHỐI LĂNG TRỤ VÀ MẶT CẦU Địa chỉ: H40/47 K543 TÔN ĐỨC THẮNG, Đ NẴNG. ĐT: 0975.050.027 FACEBOOK: facebook.com/nobi39 FAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán "Mỗi tuần một chuyên đề" HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân LỜI NÓI ĐẦU 2 Các em thân mến. Thấm thoát đã mười hai năm, từ cái ngày đầu đến trường còn rụt rè bỡ ngỡ, giờ đây các em đã đi đến những ngày tháng cuối cùng của thời học sinh.Năm cuối cùng của khoảng thời gian đẹp nhất của cuộc đời và đây cũng là năm quan trọng làm tiền đề cho tương lai của các em. Kể từ hôm nay, các em sẽ lần lượt trải qua những thử thách khó khăn của cuộc sống.Thử thách đầu tiên các em phải trải qua đó là kì thi đại học. Đây là một thử thách không có chổ cho những suy nghĩ bồng bột, lười nhác… Để giúp các em có sự chuẩn bị tốt hơn, thầy đã soạn ra tuyển tập các chuyên đề ôn thi đại học Môn Toán. Hy vọng những chuyên đề mà thầy soạn, sẽ giúp các em trang bị tốt hơn kiến thức, giúp các em có thể vượt qua thử thách đầu tiên của cuộc đời một cách dễ dàng hơn. Đây là lần đầu tiên thầy soạn chuyên đề, nên không tránh khỏi sai sót…các em đọc và góp ý để thầy chỉnh sửa kịp thời, để các em khóa sau có sự chuẩn bị tốt hơn các em nhá. Chúc các em học tốt. Địa chỉ: H40/47 K543 TÔN ĐỨC THẮNG, Đ NẴNG. ĐT: 0975.050.027 FACEBOOK: facebook.com/nobi39 FAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán "Mỗi tuần một chuyên đề" HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 3 HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân PHẦN 1. BÀI TOÁN THAM SỐ (TT). 1 CHƢƠNG III: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. Lý thuyết 1. Ý nghĩa hình học Cho hàm số ( ) có đồ thị là ( ), một điểm ( ; ) ( ). Phương trình đường thẳng tiếp xúc với ( ) tại có phương trình ( )( ) . 2. Sự tiếp xúc Cho hàm số ( ) có đồ thị là ( ), ( ) có đồ thị là ( ). Đồ thị ( ) ( ) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ sau { ( ) ( ) ( ) ( )( ) có nghiệm. 3.Đặc điểm phƣơng trình tiếp tuyến Nếu ( ) là đường con bậc 3 thì số tiếp tuyến với ( ) bằng số tiếp điểm. Đường thẳng không phải là tiếp tuyến của ( ) II. Bài toán 1.Bài toán về tiếp tuyến tại M cho trƣớc trên ( ) Phương pháp - Gọi ( ; ) ( ) là tọa độ tiếp điểm - Phương trình đường thẳng tiếp tuyến với ( ) tại có phương trinh ( )( ) Ví dụ 1. Cho ( ) Viết phương trình tiếp biết tiếp tuyết vuông góc Giải TXĐ: Gọi ( ; ) tiếp điểm. Tiếp tuyến cần tìm có dạng HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân ( )( ) 2 Vì tiếp tuyến vuông góc với nên ( ) Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng Ví dụ 2. Cho ( ) Viết phương trình tiếp tuyến với ( ) cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại sao cho tam giác vuông cân. Giải TXĐ: * + ( ) Gọi ( ; ) tiếp điểm. Tiếp tuyến cần tìm có dạng ( ) ( ) ( ) Vì vuông cân tại O nên ( ) | ( ) | Với ( ) (loại) Với ( ) . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm . HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Ví dụ 3. Cho ( ) Tìm ( ) sao cho tiếp tuyến với ( ) tại M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại sao cho diện tích tam giác bằng 3 Giải TXĐ: * + ( ) Gọi ( ; ) là điểm cần tìm. Tiếp tuyến với (C) tại có dạng ( ) ( ) Cho ( ( ) ) Cho ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Ví dụ 4. Cho ( ) Tìm m để ( ) cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt A, D, E sao cho tiếp tuyến tại D, E với ( ) (có hoành độ khác 0) vuông góc nhau. 4 Giải TXĐ: Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) cắt đường thẳng ( ) Để ( ) cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt A, D, E thì phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt { ( ) { Gọi 3 giao điểm là ( ) ( ) ( ) Tiếp tuyến tại D và E vuông góc nhau cho ta ( ) ( ) ( )( ) Áp dụng định lý Viet ta được √ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 2.Bài toán về tiếp tuyến qua ( ) cho trƣớc. 5 Phương pháp - Đường thẳng không là tiếp tuyến của hàm số. Phương trình đường thắng d qua M tiếp xúc với đồ thị có dạng ( ) - Gọi là hoành độ tiếp điểm. Khi đó { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - Thế (2) vào (1), tìm nghiệm. Ví dụ 1. Cho ( ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) đi qua ( ) Giải TXĐ: Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên phương trình đường thẳng d qua ( ) là tiếp tuyến của ( ) có dạng ( ) Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d và ( ). Khi đó { ( ) ( ) ( ) Thế (2) vào (1) ta được ( )( ) [ [ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Ví dụ 2. Cho ( ) Tìm M trên ( ) sao cho qua M có duy nhất một tiếp tuyến. 6 Giải TXĐ: Gọi ( ) ( ) là điểm cầ tìm. Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng ( ) Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ). Khi đó { ( ) ( ) ( ) Thế (2) vào (1) ta được ( ) ( ), ( ) - ( ) ( ) [ Vì đƣờng cong bậc 3 có số tiếp tuyến bằng số tiếp điểm nên để từ M chỉ có một tiếp tuyến với (C) thì ( ) Nhận xét: Điểm M cần tìm ở đây chính là điểm uốn. HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Ví dụ 3. Cho ( ) Tìm M trên trục hoành sao cho qua M có 3 tiếp tuyến tới ( ) 7 Giải TXĐ: Gọi ( ) là điểm cầ tìm. Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng ( ) Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ). Khi đó { ( ) ( ) ( ) Thế (2) vào (1) ta được ( ), ( ) - Đồ thì bậc ba có số tiếp tuyến bằng số tiếp điểm nên, để từ M vẽ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị thì phương trình ( ) ( ) có hai nghiệm phân biệt { ( ) { Ví dụ 4. Cho ( ) Tìm ( ) sao cho qua M có duy nhất một tiếp tuyến duy nhất. HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Giải 8 TXĐ: * + ( ) Gọi ( ; ) là điểm cần tìm. Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng ( ) Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ). Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) { Thế (2) vào (1) ta được ( ) ( ) Để từ M có duy nhất một tiếp thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác 1. 1. { { ( ) ( ) 0 Với ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy có 4 điểm trên d thỏa yêu cầu bài toán. HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Ví dụ 5. Cho ( ) Tìm sao cho qua M vẽ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía trục hoành. 9 Giải TXĐ: * + ( ) Gọi ( ) là điểm cần tìm. Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ). Khi đó ( ) { ( ) ( ) Thế (2) vào (1) ta được ( ) ( ) ( ) Để từ M có 2 tiếp tuyến tới đồ thị thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1. { ( ) { ( ) Gọi . / . / là 2 tiếp điểm. Để A, B nằm về 2 phía trục hoành thì ( ) ( ) ( ) Vì là nghiệm của phương trình (*) nên HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 10 { ( ) Thế vào (1') ta được Kết hợp với (**) ta được { HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân CHƢƠNG IV: SỰ TƢƠNG GIAO 11 I. Lý thuyết 1. Ý nghĩa hình học Cho hàm số ( ) có đồ thị là ( ), hàm số ( ) có đồ thị là ( ). ( ) và ( ) giao nhau tại m điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm sau có m nghiệm phân biệt ( ) ( ). 2. Mối liên hệ giữa số giao điểm của đƣờng cong bậc 3 (C) với trục ox và cực trị của nó. a) (C) giao trục hoành tại 3 điểm phân biệt b) (C) giao trục hoành tại 2 điểm phân biệt c) (C) giao trục hoành tại 1 điểm phân biệt hoặc (C) không có cực trị. II. Bài toán 1. Các bài toán cơ bản. Ví dụ 1. Cho ( ) Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ sao cho Giải TXĐ: Phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( )( ) 0 Đặt . Để đồ thị giao trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt khác 1. { ( ) { ( ) HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Giả thiết ( ) Kết hợp với (*) ta được 12 { Ví dụ 2. Cho ( ) và ( ) Tìm m để ( ) và ( ) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho √ Giải TXĐ: * + Phương trình hoành độ giao điểm { ( ) Để ( ) và ( ) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B thì phương trình ( ) ( ) có hai nghiệm phân biệt khác -1 { ( ) ( ) Gọi ( ) ( ) Khi đó √ ( ) √ ( ) √ ( ( )) | | √ | |√ √ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 13 Ví dụ 3. Cho ( ) ( ) Tìm m để ( ) và cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có hoành độ bé hơn 2. Giải TXĐ: Phương trình hoành độ giao điểm ( ) Đặt . Để ( ) và cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có hoành độ bé hơn 2 thì phương trình ( ) ( ) có 2 nghiệm phân biệt thỏa { ( ) ( ) { { { Ví dụ 4. Cho ( ) ( ) ( ) Tìm m để ( ) và cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Giải 14 TXĐ: Phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( ) ( )( ) 0 Để ( ) và cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1 thì phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt và { ( ) ( ) ( ) { Ví dụ 5. Cho ( ) ( ) Tìm m để ( ) và cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Giải TXĐ: Phương trình hoành độ giao điểm ( ) Đặt . Để ( ) và cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì phương trình ( ) ( ) có 2 nghiệm phân biệt thỏa HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 15 { ( ) { { ( ) Hoành độ các giao điểm của ( ) với lần lượt là √ √ √ √ Để các hoành độ lập theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì | | ( | |) [ ( ) HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 2.Bài toán ứng dụng cực trị hàm. 16 Ví dụ 1. Cho ( ) ( ) Tìm m để ( ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Giải TXĐ: Phương trình hoành độ giao điểm ( ) Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) Đồ thị hàm số ( ) đạt cực đại cực tiểu tại khi chỉ khi ( ) Gọi ( ), ( ) là cực tiểu và cực đại của hàm số ( ). Để ( ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đồ thị hàm số ( ) có cực đại cực tiểu nằm về 2 phía trục hoành. Do đó ( )( ) ( ) là nghiệm phương trình ( ) nên { Thế vào (1), ta được ( ) Ví dụ 2. Cho ( ) ( ) Tìm m để ( ) cắt đường thẳng ( ) tại đúng 2 điểm phân biệt. Giải TXĐ: Phương trình hoành độ giao điểm HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 17 Đặt ( ) ( ) Đồ thị hàm số ( ) đạt cực đại cực tiểu tại khi chỉ khi ( ) Gọi ( ), ( ) là cực tiểu và cực đại của hàm số ( ). Để ( ) cắt ( ) tại 2 điểm phân biệt thì đồ thị hàm số ( ) có cực đại hoặc cực tiểu nằm trên trục hoành. Do đó ( )( ) ( ) là nghiệm phương trình ( ) nên { Thế vào (1), ta được Kết hợp với (*) ta được Ví dụ 3. Cho ( ) Tìm m để ( ) cắt đường thẳng ( ) tại 3 điểm phân biệt. Giải TXĐ: Phương trình hoành độ giao điểm ( ) Với ta được (vô lý) Với ta được ( ) ( ) ( ) HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 18 ( ) ( )( ) ( ) ( ) Để ( ) cắt đường thẳng ( ) tại 3 điểm phân biệt thì đường thắng cắt đồ thị ( ) tại 3 điểm phân biệt. Do đó Ví dụ 4. Cho ( ) Tìm trên ( ) hai điểm A, B đối xứng nhau qua ( ) Giải Giả sử A, B là hai điểm cần tìm. Vì A, B đối xứng nhau qua ( ) nên phương trình AB có dạng ( ) ( ) cắt ( ) tại hai điểm phân biệt A, B nên phương trình hoành độ giao điểm sau có 2 nghiệm phân biệt { ( ) ( ) Hệ (1) có hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình ( ) ( ) có hai nghiệm phân biệt khác 1 HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 19 { ( ) √ √ ( ). Gọi ( ) ( ). ( ( ) ) Vì A, B đối xứng nhau qua d nên : ( ) ( ) ( ) Kết hợp (*) ta được √ √ ( √ √ ) (√ √ ) HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 20 Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hàm số ( ) Viết phương trình tiếp tuyến với ( ) cắt tiệm cận ngang và đứng lần lượt tại sao cho là giao điểm 2 tiệm cận. Bài 2: Cho hàm số ( ) Tìm trên ( ) các điểm M sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của đồ thị tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Bài 3: Cho hàm số ( ) M là điểm bất kì trên đồ thị. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của đồ thị tại A, B. I là giao điểm 2 tiệm cận. Tìm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích tam giác IAB nhỏ nhất. Bài 4: Cho hàm số ( ) I là giao điểm 2 tiệm cận. Đường thẳng là tiếp tuyến bất kì của đồ thị. Tìm giá trị lớn nhất của ( ) Bài 5: Cho hàm số ( ) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết rằng tiếp tuyến cách đều ( ) ( ) Bài 6: Cho hàm số ( ) Tìm trên đường thẳng các điểm từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị. Bài 7: Cho hàm số ( ) Tìm trên đường thẳng các điểm từ đó kẻ được 3 tiếp HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân tuyến phân biệt tới đồ thị. 21 Bài 8: Cho hàm số ( ) Tìm trên ( ) những điểm là từ đó có duy nhất một tiếp tuyến với đồ thị. Bài 9: Cho hàm số ( ) Tìm m để phương trình đường thẳng d qua ( ) có hệ số góc m cắt ( ) tại ba điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến của ( ) tại N, P (có hoành độ khác -1) vuông góc nhau. Bài 10 Cho ( ) Tìm m để ( ) và cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ bé hơn 15. Bài 11: Cho hàm số ( ) ( ) Tìm m để ( ) cắt ( ) tại 3 điểm phân biệt A, B, C (B, C có hoành độ khác 0) sao cho √ ( ) Bài 12: Cho hàm số ( ) ( ) Tìm m để ( ) cắt ( ) tại một điểm duy nhất. Bài 13:Cho ( ) ( ) Tìm m để ( ) cắt tại 3 điểm phân biệt có hoành độ bé hơn 3. Bài 14:Cho hàm số ( ) Tìm để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 4 điểm phân biệt theo thứ tự sao Bài 15: Cho hàm số ( ) Viết phương trình đường thẳng d qua ( ) và cắt ( ) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho I là trung điểm MN. Bài 16: Cho hàm số ( ) Tìm m để ( ) cắt đường thẳng ( ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O. HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 22 PHẦN 2. HÌNH KHÔNG GIAN (TT) Vấn đề 3: Khối lăng trụ và các bài toán liên quan I. Vài khái niệm cần nhớ: ⮚Hình lăng trụ là hình có 2 đáy là 2 đa giác bằng nhau và nằm ở 2 mp song song. ⮚Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. ⮚Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều. ⮚Hình hộp là hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành. ⮚Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng và có đáy là hình chữ nhật. Chú ý: ✔Khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ngoài cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng thì ta còn một cách nữa không cần biết hình chiếu vuông góc ở đâu ta vẫn tính được khoảng cách nhờ công thức tính thể tích. Ví dụ : 3. ( ,( )) S ABC V . d A SBCS = SBC ✔Trong hình lăng trụ có nhiều yếu tố song song nên ta đặc biệt chú ý đến điểm này để áp dụng cho kĩ thuật "đổi đỉnh" trong bài toán về khoảng cách. HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 23 II. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình hộp đứng có đáy là hình vuông, vuông cân, . Tính ( ( )) theo Phân tích: Tính ( ( )) Việc tìm hình chiếu vuông góc của lên ( ) của ta gặp chút khó khăn đây…ta thử xét theo hướng khác xem thử có đơn giản hơn không? Giải. Ta có vuông cân tại suy ra √ √ √ √ Suy ra √ ( ) ( ) Do đó ( ( )) √ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Bài toán được giải quyết một cách nhẹ nhàng rồi. 24 Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng có 5và ̂ . Gọi M là trung điểm của CC'. Tính ( ( )) và ( ( )) theo . Giải : Cách truyền thống Gọi là chân đường cao kẻ từ của tam giác Ta có: và suy ra ( ) hay ( ( )) √ Cách dùng thể tích √ √ Ta tiếp tục ý tưởng ở ví dụ 1. ( ( )) Ta có ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) Do đó ( ( )) √ ( ( )) √ (chú ý A'BM vuông tại ). HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 25 Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ có đáy là hình chữ nhật 3 Hình chiếu vuông góc của điểm lên ( ) trùng với giao điểm của và . Mặt phẳng ( ) tạo với mặt đáy một góc 600. Tính ( ( )) theo . Giải: Từ giả thiết suy ra ( ) Gọi là trung điểm của , ta dễ dàng xác định được (( ) ( )) ̂ Ta có: ( ( )) Việc tính của ta gặp chút khó khăn ? Ta thử chuyển hƣớng nhé: ( ( )) ( ( )) Bây giờ việc tính toán của ta sẽ đơn giản hơn nhiều √ ( ( )) √ ( ) Ngoài ra, nếu ta chú ý hơn một chút thì ta có thể tính trực tiếp ( ( )) nhƣ sau : Gọi là chân đường cao kẻ từ của tam giác Ta có: và suy ra ( ) hay ( )) √ ( ) HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Chú ý : Bài trên ta đã thực hiện kĩ thuật đổi đỉnh. Và quả thật 26 nó rất hiệu quả. Ví dụ 4. Cho lăng trụ tam giác đều có , góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) bằng 600. Tính ( ) theo với là trung điểm của Giải : Dễ dàng xác định được (( ) ( )) ̂ = 600. Và Tính ( ) Nhận xét : và suy ra ( ) hay Trong mp ( ) từ kẻ tại Ta có và nên là đoạn vuông góc chung của và ( ) √ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Vấn đề 4: Bài toán tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình 27 chóp I. Nhắc lại: 1.Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp. 2.Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. 3.Tâm đường tròn ngoại tiếp của: - Tam giác đều là trọng tâm của tam giác. -Tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền. - Hình vuông là giao điểm của hai đường chéo. - Hình chữ nhật là giao điểm của hai đường chéo. 4.Trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đó. 5.Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mp đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. 6.Diện tích của mặt cầu : 7.Thể tích của khối cầu : , với R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. II. Phƣơng pháp tìm tâm đƣờng mặt cầu ngoại tiếp B1. Tìm đường thẳng d là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. B2. Tìm mặt trung trực ( ) (hay là đường trung trực ) của cạnh bên. (…. tìm như thế nào cho thích hợp Thầy trò mình nói trên lớp nhé ….) Khi đó : giao điểm của 2 đường thẳng d và là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Lƣu ý: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thông thường sẽ được tìm thông qua 2 cách: - Các hệ thức lượng trong tam giác vuông. HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân - Sử dụng tam giác đồng dạng. 28 III. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a√ , góc giữa cạnh bên với mặt đáy bẳng 600. Hãy xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo Giải: Gọi . Và ( (̂ ))=( ̂ ) ̂ = 600suy ra SO = a√ và SD = 2a. Khi đó : ( ) hay SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông Gọi K là trung điểm của SD. Trong mp ( ) dựng đường trung trực của cạnh cắt cạnh SO tại I Suy ra hay là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 29 √ Nhận xét : tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là tìm điểm cách đều các đỉnh A, B, C , D, S. Chính vì vậy trong bài toán trên với nhận xét là 2 tam giác đều. Gọi I là trọng tâm của thì I cũng là trọng tâm của . Khi đó : hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD. Việc tính bán kính IS cũng sẽ nhẹ nhàng hơn rất nhiều. Ví dụ 2. Cho hình chóp S có đáy là hình vuông tâm , cạnh ( ) và SAC vuông cân. Hãy xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a. Giải : Trong mp ( ) - Dựng đường thẳng qua và song song với Mà ( ) ( ) hay là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông - Dựng đường trung trực của cạnh , cắt d tại I.(I là trung điểm của SC ) Khi đó : HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Suy ra hay là tâm mặt cầu 30 ngoại tiếp hình chóp Bán kính √ √ Nhận xét : ba điểm cùng nhìn cạnh dưới một góc vuông nên gọi I là trung điểm SC thì ta có hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính √ Chú ý: Hai ví dụ trên chỉ là một vài trường hợp đặc biệt , ta sẽ tiếp tục với các ví dụ khác. Ví dụ 3. Cho hình chóp đáy là tam giác đều cạnh bằng a√ . vuông góc với mặt phẳng ( ) Hãy xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a. Giải : Gọi G là trọng tâm . Trong mp ( ): - Dựng đường thẳng d qua và song song với Mà SA ( ) nên ( ) hay d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. - Dựng đường trung trực của cạnh SA, cắt d tại I. Khi đó : HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Suy ra : hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp 31 hình chóp Bán kính √ = √ Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = BC = 2a. SB vuông góc với (ABC). Mặt phẳng (SAC) tạo với mặt đáy một góc 300. Hãy xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a Giải : Gọi là trung điểm của Dễ dàng được: (( ) ( )) 300. Trong ( ) - Dựng đường thẳng qua và song song với Mà ( ) nên ( ) hay d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác - Dựng đường trung trực của cạnh SB, cắt d tại I. Khi đó : HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Suy ra : hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp 32 hình chóp Bán kính √ √ Ví dụ 5. Cho hình chóp S có đáy là hình vuông tâm , cạnh bằng a√ . Mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ) Hãy xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo Giải : Gọi là trung điểm của , chứng minh được (ABCD) là trọng tâm của tam giác Trong ( ) - Dựng đường thẳng qua và song song với . Mà ( ) nên ( ) hay d là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông - Dựng đường thẳng qua và song song với Mà ( ) nên (SAB) hay là trục của đường tròn ngoại tiếp SAB. Và cắt tại Khi đó: HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Suy ra : hay là tâm mặt cầu 33 ngoại tiếp hình chóp √ √ Vấn đè 5. Bài toán tính góc trong không gian Cần chú ý: ( ) | ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ )| | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | Ví dụ 1 Cho hình chóp có đáy hình vuông cạnh √ . Mặt ( ) vuông góc đáy. Gọi lần lượt là trung điểm của . Tính thể tích khối chóp theo a và tính ( ) Giải Trong ( ) kẻ ( ) Suy ra ( ) Ta có: √ nên vuông tại Do đó : Lại có √ Ta có : √ ( ) Ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) Mặt khác ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) Do đó HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 34 ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ) Tam giác vuông tại nên Suy ra √ Tam giác vuông tại nên √ √ Thay vào (1), ta được ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) √ ( ) √ Ví dụ 2 Cho hình lập phương cạnh Tính ( ) theo a. Gọi lần lượt là trung điểm của Tính góc ( ) Giải Gọi ( ), suy ra là hình bình hành ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) Vì ( ) * + nên ( ( )) ( ( )) HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 35 Ta có { ( ). ( ) ( ) theo giao tuyến . Trong ( ), kẻ ( ) ta được ( ) suy ra ( ( ) Tam giác vuông tại , có là đường cao nên √ ( ) √ ( ) Tính góc ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ) Mặt khác ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ) . ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ / Do đó: ( ) HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 36 Bài tập áp dụng: Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại gọi là trung điểm của cạnh là giao điểm của . Tính thể tích khối tứ diện IABC và ( ( )) theo Bài 2. Cho hình lăng có đáy là hình vuông cạnh cạnh bên Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng ( ) trùng với trung điểm của . Gọi là trung điểm của Tính thể tích tứ diện và ( ( )) theo Bài 3. Cho hình lăng trụ có đáy là tam giac đều cạnh a. Đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc 300. Gọi lần lượt là trung điểm Tính thể tích khối lăng trụ và ( ( )) theo a, với là trọng tâm của Bài 4. Cho lăng trụ , biết là hình chóp đều có cạnh đáy bằng a. Góc giữa hai mặt phẳng ( A BC ′ )và (BCC B′ ′) bằng 900. Tính thể tích khối lăng trụABC A B C .′ ′ ′và ( ) theo a. Bài 5. Cho lăng trụ có đáy là tam giác vuông cân tại Gọi là trọng tâm của tam giác Biết rằng vuông góc với mặt đáy ( ) và tạo với mặt đáy một góc bằng 600. Tính thể tích khối chóp và ( ) theo Bài 6. Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng ( ) là điểm thỏa DC DB = −2.. Đường thẳng tạo với ( ) một góc 450. Tính thể tích khối lăng trụ và côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng BB' và AC. HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 37 Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. a.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và b.Gọi là trung điểm của Mặt phẳng ( ) chia hình lập phương thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện này. Bài 8. Cho hình lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh Gọi lần lượt là trung điểm của Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng ( ) trùng với giao điểm của và Góc giữa hai mặp phẳng ( ) và ( ) bằng 0 60. Tính thể tích khối lăng trụ và ( ) theo a. Bài 9. Cho lăng trụ tam giác đều C' có góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) bằng 600. Gọi là trọng tâm của tam giác Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện theo Bài 10. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy Mặt bên tạo với mp mặt đáy một góc 600. Hãy xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, √ ( ) a. Hãy xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b. Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh Hãy xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ( ) đi qua các điểm HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân Bài 12. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại √ góc giữa mặt phẳng ( ) và mặt phẳng đáy bằng tam giác cân tại thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích hình chóp và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp . Bài 13. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh tâm ̂ 2 mặt phẳng ( ) ( ) cùng vuông góc với đáy, mặt phẳng ( ) tạo với đáy một góc √ Tính thể tích của khối chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bài 14. Cho hình chóp có đáy hình vuông cạnh √ . Mặt ( ) vuông góc đáy. Gọi lần lượt là trung điểm của . Tính thể tích khối chóp theo a và tính ( ) Bài 15. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh √ ( ) vuông góc đáy. lần lượt là trung điểm Tính thể tích hình chóp và ( ) Bài 16. Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác vuông tại √ ( ) ( ) và (( ) ( )) Tính thể tích theo . Giả sử √ , tính góc giữa hai đường thẳng . 38 HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 39